Номер 21, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

21. Сформулируйте свойство внешнего угла треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника формулируется в виде теоремы. Для начала дадим определение.

Определение

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-либо внутренним углом этого треугольника. Он образуется при продлении одной из сторон треугольника за пределы вершины.

Свойство (Теорема о внешнем угле)

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Доказательство

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Обозначим его внутренние углы при вершинах $A$, $B$ и $C$ как $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$.

Продлим сторону $AC$ за вершину $C$ и отметим на продолжении точку $D$. Угол $\angle BCD$ является внешним углом треугольника при вершине $C$.

По свойству смежных углов, сумма внутреннего угла $\angle C$ (также $\angle ACB$) и внешнего угла $\angle BCD$ равна $180^\circ$:
$\angle ACB + \angle BCD = 180^\circ$

Отсюда можно выразить величину внешнего угла:
$\angle BCD = 180^\circ - \angle ACB$

С другой стороны, по теореме о сумме углов треугольника, сумма всех его внутренних углов также равна $180^\circ$:
$\angle A + \angle B + \angle ACB = 180^\circ$

Из этого равенства выразим сумму двух углов, не смежных с внешним углом $\angle BCD$ (то есть $\angle A$ и $\angle B$):
$\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle ACB$

Сравнивая два полученных выражения для $180^\circ - \angle ACB$, мы приходим к выводу, что:
$\angle BCD = \angle A + \angle B$

Таким образом, мы доказали, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Что и требовалось доказать.

Следствие из теоремы

Поскольку углы треугольника имеют положительную меру ($\angle A > 0$ и $\angle B > 0$), из доказанной формулы $\angle BCD = \angle A + \angle B$ следует, что внешний угол всегда больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. То есть, $\angle BCD > \angle A$ и $\angle BCD > \angle B$.

Ответ: Внешний угол треугольника равен сумме двух его внутренних углов, не смежных с ним.