Номер 19, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

19. Сформулируйте свойства-неравенства, связывающие стороны и углы треугольника.

Свойства-неравенства, связывающие стороны и углы треугольника, являются фундаментальными в геометрии. Основных таких свойств два.

Неравенство треугольника

Это свойство определяет само условие существования треугольника. Оно формулируется следующим образом: длина любой стороны треугольника всегда меньше суммы длин двух других его сторон.
Для треугольника со сторонами $a, b$ и $c$ должны одновременно выполняться три неравенства:

• $a < b + c$
• $b < a + c$
• $c < a + b$

Нарушение хотя бы одного из этих условий означает, что треугольник с такими сторонами построить невозможно. Например, отрезки длиной 1, 2 и 4 не могут образовать треугольник, так как $4$ не меньше, чем $1+2$.
Из этого основного неравенства также следует, что любая сторона треугольника больше модуля разности двух других сторон:

• $a > |b - c|$
• $b > |a - c|$
• $c > |a - b|$

Таким образом, для любой стороны, например $c$, справедливо двойное неравенство: $|a - b| < c < a + b$.
Ответ: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон и больше модуля их разности.

Соотношения между сторонами и углами треугольника

Это свойство устанавливает прямую зависимость между величинами углов треугольника и длинами противолежащих им сторон.

Теорема: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Обратная теорема: В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Эти два утверждения можно объединить в одно эквивалентное. Пусть в треугольнике $ABC$ стороны, противолежащие углам $\angle A, \angle B, \angle C$, равны $a, b, c$ соответственно. Тогда:

$a > b \Leftrightarrow \angle A > \angle B$
$b > c \Leftrightarrow \angle B > \angle C$
$a > c \Leftrightarrow \angle A > \angle C$

Из этого свойства вытекают важные следствия:

• Напротив самой длинной стороны треугольника лежит самый большой угол.
• Напротив самой короткой стороны треугольника лежит самый маленький угол.
• Если две стороны треугольника равны (равнобедренный треугольник), то и углы, лежащие против этих сторон, равны.
• Если все стороны треугольника равны (равносторонний треугольник), то и все его углы равны (каждый по $60^\circ$).

Ответ: В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и наоборот, против большего угла лежит большая сторона.