Номер 24, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

24. Сформулируйте свойства биссектрисы треугольника; точки пересечения биссектрис треугольника.

Свойства биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы одного из его углов, соединяющий вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне. Рассмотрим треугольник $ABC$ со сторонами $a$, $b$, $c$, лежащими против вершин $A$, $B$, $C$ соответственно. Пусть $AL$ — биссектриса угла $A$.

1. Теорема о биссектрисе. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки ($BL$ и $LC$), пропорциональные прилежащим к этому углу сторонам ($AB$ и $AC$).
   $\frac{AB}{AC} = \frac{BL}{LC}$
   Или, используя обозначения длин сторон:
   $\frac{c}{b} = \frac{BL}{LC}$

2. Свойство равноудаленности. Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон. Это свойство является ключевым для доказательства того, что все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

3. Формулы для вычисления длины биссектрисы. Длину биссектрисы $l_a$, проведенной из вершины $A$, можно найти по следующим формулам:
   а) Через длины сторон $b$, $c$ и отрезки $BL$, $LC$, на которые биссектриса делит сторону $a$:
   $l_a^2 = b \cdot c - BL \cdot LC$
   б) Через длины прилежащих сторон $b$, $c$ и угол $A$ между ними:
   $l_a = \frac{2bc \cos(\frac{A}{2})}{b+c}$

Ответ: Основные свойства биссектрисы треугольника: она делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон; все ее точки равноудалены от сторон угла; ее длина может быть вычислена по специальным формулам через стороны и углы треугольника.

Точки пересечения биссектрис треугольника

В любом треугольнике биссектрисы всех трех углов обладают замечательным свойством пересечения.

1. Теорема о пересечении биссектрис. Три биссектрисы треугольника всегда пересекаются в одной-единственной точке.

2. Инцентр. Эта точка пересечения называется инцентром треугольника.

3. Центр вписанной окружности. Инцентр является центром окружности, вписанной в треугольник. Поскольку инцентр лежит на каждой из трех биссектрис, он равноудален от всех трех сторон треугольника. Это общее расстояние является радиусом вписанной окружности ($r$). Окружность с центром в инцентре и радиусом $r$ касается всех трех сторон треугольника.

4. Расположение инцентра. В отличие от некоторых других замечательных точек (например, ортоцентра), инцентр всегда находится внутри треугольника, вне зависимости от его типа (остроугольный, прямоугольный или тупоугольный).

5. Координаты инцентра. Если вершины треугольника заданы координатами $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$, а длины противолежащих им сторон равны $a$, $b$, $c$ соответственно, то координаты инцентра $I$ вычисляются как взвешенное среднее координат вершин:
   $I = \left(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c}\right)$

Ответ: Три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, называемой инцентром. Инцентр является центром вписанной в треугольник окружности и всегда располагается внутри него.