Номер 25, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

25. Какой треугольник называется остроугольным; прямоугольным; тупоугольным?

остроугольным называется треугольник, у которого все три внутренних угла являются острыми, то есть их градусная мера меньше $90^\circ$.
Пусть углы треугольника равны $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$. Треугольник будет остроугольным, если одновременно выполняются три условия: $\alpha < 90^\circ$, $\beta < 90^\circ$ и $\gamma < 90^\circ$. Для остроугольного треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, где $c$ — наибольшая сторона, справедливо неравенство, являющееся следствием теоремы косинусов: $c^2 < a^2 + b^2$.

Ответ: Треугольник, у которого все три угла острые (меньше $90^\circ$).

прямоугольным называется треугольник, у которого один из внутренних углов прямой, то есть его градусная мера равна $90^\circ$.
В прямоугольном треугольнике два других угла всегда острые, и их сумма равна $90^\circ$. Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами, а сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой. Для прямоугольного треугольника с катетами $a$, $b$ и гипотенузой $c$ выполняется знаменитая теорема Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Ответ: Треугольник, у которого один угол прямой (равен $90^\circ$).

тупоугольным называется треугольник, у которого один из внутренних углов тупой, то есть его градусная мера больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.
Поскольку сумма углов любого треугольника равна $180^\circ$, в треугольнике может быть только один тупой угол, а два других угла обязательно будут острыми. Для тупоугольного треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$, где $c$ — сторона, лежащая против тупого угла (и являющаяся наибольшей стороной), справедливо неравенство, также следующее из теоремы косинусов: $c^2 > a^2 + b^2$.

Ответ: Треугольник, у которого один угол тупой (больше $90^\circ$).