Номер 28, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

28. Сформулируйте признаки прямоугольного треугольника.

Признаки прямоугольного треугольника — это утверждения (теоремы), которые позволяют установить, что данный треугольник является прямоугольным. Ниже приведены основные из них.

1. Признак по углу (по определению)

Если один из углов треугольника равен $90^\circ$ (является прямым), то такой треугольник является прямоугольным. Это основной признак, который следует непосредственно из определения прямоугольного треугольника.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, если один из его углов равен $90^\circ$.

2. Обратная теорема Пифагора

Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин двух других сторон, то этот треугольник является прямоугольным. При этом прямой угол лежит напротив стороны, длина которой возводилась в квадрат.

Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$: если выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$, то угол, противолежащий стороне $c$, равен $90^\circ$.

Ответ: Треугольник со сторонами $a, b, c$ является прямоугольным, если для его сторон выполняется равенство $c^2 = a^2 + b^2$.

3. Признак по медиане

Если медиана, проведённая к одной из сторон треугольника, равна половине этой стороны, то треугольник является прямоугольным. Сторона, к которой проведена медиана, является гипотенузой.

Если $m_c$ — медиана, проведённая к стороне $c$, и $m_c = \frac{c}{2}$, то угол, противолежащий стороне $c$, равен $90^\circ$.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, если его медиана, проведённая к одной из сторон, равна половине длины этой стороны.

4. Признак по описанной окружности

Если одна из сторон треугольника является диаметром окружности, описанной около этого треугольника, то треугольник является прямоугольным. Эта сторона будет гипотенузой.

Данный признак является следствием свойства вписанного угла: вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, если одна из его сторон совпадает с диаметром его описанной окружности.

5. Признак по сумме двух углов

Если сумма двух углов треугольника равна $90^\circ$, то треугольник является прямоугольным. Поскольку сумма всех углов треугольника равна $180^\circ$, третий угол будет равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Если $\alpha$ и $\beta$ — два угла треугольника и $\alpha + \beta = 90^\circ$, то третий угол $\gamma = 90^\circ$.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, если сумма двух его углов равна $90^\circ$.

6. Признак по площади

Если площадь треугольника $S$ равна половине произведения длин двух его сторон $a$ и $b$ (то есть $S = \frac{1}{2}ab$), то угол между этими сторонами является прямым, а сам треугольник — прямоугольным.

Это следует из общей формулы площади $S = \frac{1}{2}ab \sin\gamma$. Равенство $S = \frac{1}{2}ab$ выполняется только тогда, когда $\sin\gamma = 1$, что для угла в треугольнике означает $\gamma = 90^\circ$.

Ответ: Треугольник является прямоугольным, если его площадь равна половине произведения двух его сторон.