Номер 35, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

35. Сформулируйте свойство точки секущей, расположенной внутри круга; точки секущей, расположенной вне круга.

Свойство точки секущей, расположенной внутри круга

Это свойство более известно как теорема о пересекающихся хордах. Она гласит, что если две хорды окружности пересекаются в некоторой точке внутри круга, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Рассмотрим окружность и две хорды $AB$ и $CD$, которые пересекаются в точке $P$. Точка $P$ делит хорду $AB$ на отрезки $AP$ и $PB$, а хорду $CD$ — на отрезки $CP$ и $PD$.

Согласно этому свойству, выполняется следующее равенство:

$AP \cdot PB = CP \cdot PD$

Это значение постоянно для любой хорды, проходящей через точку $P$, и его абсолютное значение равно модулю степени точки $P$ относительно окружности.

Ответ: Если две хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P$, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$.

Свойство точки секущей, расположенной вне круга

Это свойство известно как теорема о двух секущих. Она утверждает, что если из точки, лежащей вне круга, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.

Пусть из точки $P$, расположенной вне круга, проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках $A$ и $B$ (причем $A$ лежит между $P$ и $B$). Вторая секущая пересекает окружность в точках $C$ и $D$ (причем $C$ лежит между $P$ и $D$).

В этом случае отрезки $PA$ и $PC$ являются внешними частями секущих, а отрезки $PB$ и $PD$ — это расстояния от точки $P$ до дальних точек пересечения с окружностью.

Свойство выражается следующим равенством:

$PA \cdot PB = PC \cdot PD$

Эта величина называется степенью точки $P$ относительно окружности. Важным частным случаем является теорема о касательной и секущей: если из точки $P$ проведена касательная (касающаяся окружности в точке $T$) и секущая (пересекающая окружность в точках $A$ и $B$), то $PT^2 = PA \cdot PB$.

Ответ: Для любой секущей, проведенной из точки $P$ вне круга и пересекающей его в точках $A$ и $B$, произведение $PA \cdot PB$ является постоянной величиной. Для двух секущих, проведенных из одной точки, $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.