Номер 39, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

39. Как связаны между собой расстояния от данной точки секущей, расположенной вне круга, до точек ее пересечения с окружностью и расстояние от данной точки до точки касания касательной, проходящей через данную точку?

Данная геометрическая задача описывает теорему о касательной и секущей (также известную как свойство степени точки относительно окружности). Теорема устанавливает следующую связь: если из точки, расположенной вне окружности, к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длин отрезков секущей от этой же точки до точек её пересечения с окружностью.

Сформулируем и докажем эту теорему.

Пусть из точки $M$, находящейся вне окружности, проведена касательная $MC$ (где $C$ — точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $A$ и $B$ (при этом точка $A$ находится между $M$ и $B$). Мы хотим найти связь между длинами отрезков $MC$, $MA$ и $MB$.

Доказательство:

Рассмотрим два треугольника: $\triangle MAC$ и $\triangle MCB$.
1. Угол при вершине $M$ ($\angle AMC$ или $\angle CMB$) является общим для обоих треугольников.
2. Угол между касательной $MC$ и хордой $AC$ ($\angle MCA$) измеряется половиной дуги $AC$, заключённой внутри этого угла. Это следует из теоремы об угле между касательной и хордой.
3. Вписанный угол $\angle MBC$ (или $\angle ABC$) опирается на ту же дугу $AC$, и его величина также равна половине этой дуги.
4. Следовательно, мы имеем равенство углов: $\angle MCA = \angle MBC$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle MAC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle MCB$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Запишем это: $\triangle MAC \sim \triangle MCB$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$$ \frac{MC}{MB} = \frac{MA}{MC} $$

Применяя основное свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем искомую связь:

$$ MC \cdot MC = MA \cdot MB $$

$$ MC^2 = MA \cdot MB $$

Таким образом, мы доказали, что квадрат расстояния от точки $M$ до точки касания $C$ равен произведению расстояний от точки $M$ до точек пересечения секущей $A$ и $B$.

Ответ: Квадрат расстояния от данной точки до точки касания равен произведению расстояний от этой же точки до двух точек пересечения секущей с окружностью. Если $M$ — данная точка вне круга, $C$ — точка касания, а $A$ и $B$ — точки пересечения секущей с окружностью, то выполняется следующее равенство: $MC^2 = MA \cdot MB$.