Номер 44, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

44. Как сторона треугольника и противолежащий ей угол связаны с радиусом описанной окружности?

Связь между стороной треугольника, противолежащим ей углом и радиусом описанной окружности устанавливается следствием из теоремы синусов (также известным как расширенная теорема синусов).

Эта теорема утверждает, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла является величиной постоянной для данного треугольника и равняется двум радиусам (то есть диаметру) описанной около него окружности.

Пусть в треугольнике стороны равны $a$, $b$, $c$, а противолежащие им углы — $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ соответственно. Пусть $R$ — это радиус описанной окружности. Тогда выполняется следующее соотношение:

$$ \frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = 2R $$

Из этой общей формулы можно выразить искомую связь для одной стороны (например, $a$) и противолежащего ей угла $\alpha$:

$$ a = 2R \sin\alpha \quad \text{или} \quad R = \frac{a}{2\sin\alpha} $$

Доказательство:

Рассмотрим произвольный треугольник $ABC$, вписанный в окружность радиуса $R$ с центром в точке $O$. Обозначим сторону $BC$ как $a$, а угол $\angle BAC$ как $\alpha$.

1. Проведем из вершины $B$ диаметр $BD$. Точка $D$ будет лежать на окружности.

2. Соединим точки $C$ и $D$. Полученный треугольник $BCD$ является прямоугольным, так как угол $\angle BCD$ опирается на диаметр $BD$, а значит, равен $90^\circ$. В этом треугольнике гипотенуза $BD = 2R$.

3. Рассмотрим возможные случаи для величины угла $\alpha$:

• Случай 1: Угол $\alpha$ — острый.
  Вписанные углы $\angle BAC$ и $\angle BDC$ опираются на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, они равны: $\angle BDC = \angle BAC = \alpha$.
  В прямоугольном треугольнике $BCD$ по определению синуса:$$ \sin(\angle BDC) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{BD} $$
  Подставляя наши обозначения, получаем:$$ \sin\alpha = \frac{a}{2R} $$
• Случай 2: Угол $\alpha$ — тупой.
  В этом случае точки $A$ и $D$ лежат по разные стороны от хорды $BC$. Четырехугольник $ABDC$ является вписанным в окружность, поэтому сумма его противолежащих углов равна $180^\circ$:$$ \angle BAC + \angle BDC = 180^\circ \implies \angle BDC = 180^\circ - \alpha $$
  Из прямоугольного треугольника $BCD$ имеем:$$ \sin(\angle BDC) = \frac{BC}{BD} \implies \sin(180^\circ - \alpha) = \frac{a}{2R} $$
  Поскольку по формулам приведения $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$, мы снова приходим к тому же равенству:$$ \sin\alpha = \frac{a}{2R} $$
• Случай 3: Угол $\alpha$ — прямой.
  Если $\alpha = 90^\circ$, то треугольник $ABC$ — прямоугольный, а его гипотенуза $a$ является диаметром описанной окружности, то есть $a = 2R$. При этом $\sin\alpha = \sin 90^\circ = 1$.
  Подставляем в формулу:$$ \sin 90^\circ = \frac{a}{2R} \implies 1 = \frac{2R}{2R} $$
  Равенство выполняется.

Таким образом, для любого треугольника доказано, что $\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$. Аналогично это доказывается и для других сторон и углов.

Ответ: Сторона треугольника равна произведению диаметра описанной окружности на синус противолежащего ей угла. Эта связь выражается формулой $a = 2R\sin\alpha$, где $a$ — это длина стороны, $\alpha$ — величина противолежащего ей угла, а $R$ — радиус описанной окружности. Эквивалентная запись: отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности ($\frac{a}{\sin\alpha} = 2R$).