Номер 49, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

49. Сформулируйте свойства трапеции; параллелограмма; прямоугольника; ромба.

Свойства трапеции

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого ровно одна пара противолежащих сторон параллельна. Эти параллельные стороны называются основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Основные свойства трапеции:

• Сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Для трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ (то есть $AD \parallel BC$) и боковыми сторонами $AB$ и $CD$ справедливы следующие равенства: $\angle DAB + \angle ABC = 180^\circ$ и $\angle BCD + \angle CDA = 180^\circ$.

• Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон. Она параллельна основаниям, а её длина равна полусумме длин оснований. Если $a$ и $b$ — длины оснований, то длина средней линии $m$ вычисляется по формуле: $m = \frac{a+b}{2}$.

• Отрезок, соединяющий середины диагоналей, лежит на средней линии, а его длина равна полуразности длин оснований: $\frac{|a-b|}{2}$.

• В равнобедренной (или равнобокой) трапеции, у которой боковые стороны равны, углы при каждом основании равны, а также равны её диагонали.

• В прямоугольной трапеции, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям, есть два прямых угла.

Ответ: Ключевые свойства трапеции — это наличие двух параллельных оснований, сумма углов при каждой боковой стороне, равная $180^\circ$, и свойство средней линии, которая параллельна основаниям и равна их полусумме.

Свойства параллелограмма

Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Основные свойства параллелограмма:

• Противоположные стороны равны. В параллелограмме $ABCD$ имеем $AB = CD$ и $BC = AD$.

• Противоположные углы равны. $\angle A = \angle C$ и $\angle B = \angle D$.

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Например, $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

• Диагонали пересекаются и в точке пересечения делятся пополам. Если $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$, то $AO = OC$ и $BO = OD$.

• Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$, где $a$ и $b$ — длины смежных сторон.

Ответ: Основные свойства параллелограмма: попарное равенство и параллельность противоположных сторон, равенство противоположных углов, деление диагоналей точкой пересечения пополам.

Свойства прямоугольника

Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

• Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма (противоположные стороны равны и параллельны, диагонали делятся пополам в точке пересечения и т.д.).

• Главное отличительное свойство: все углы равны $90^\circ$.

• Диагонали прямоугольника равны между собой.

• Квадрат длины диагонали равен сумме квадратов длин двух его смежных сторон (по теореме Пифагора): $d^2 = a^2 + b^2$.

Ответ: Прямоугольник — это параллелограмм, у которого все углы прямые, а диагонали равны.

Свойства ромба

Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

• Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма (противоположные стороны параллельны, противоположные углы равны, диагонали делятся пополам и т.д.).

• Главное отличительное свойство: все четыре стороны равны.

• Диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC \perp BD$).

• Диагонали ромба являются биссектрисами его углов (делят углы пополам).

Ответ: Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны, а его диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.