Номер 51, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

51. Сформулируйте свойство описанного четырехугольника; признак описанного четырехугольника.

Свойство описанного четырехугольника

Четырехугольник называется описанным около окружности (или тангенциальным), если все его стороны касаются этой окружности. Окружность в таком случае называется вписанной.

Теорема (свойство): В любом описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны.

Доказательство: Пусть дан описанный четырехугольник $ABCD$, и пусть $K, L, M, N$ — точки касания вписанной окружности со сторонами $AB, BC, CD$ и $DA$ соответственно. По свойству касательных, проведенных к окружности из одной точки, отрезки касательных от вершины до точек касания равны:

• $AK = AN$
• $BK = BL$
• $CL = CM$
• $DM = DN$

Рассмотрим суммы длин противоположных сторон четырехугольника: $AB + CD = (AK + KB) + (CM + MD)$ $BC + DA = (BL + LC) + (DN + NA)$

Используя равенства отрезков касательных, мы можем заменить отрезки в выражении для суммы $BC + DA$: $BC + DA = (BK) + (CM) + (DM) + (AK)$

Перегруппировав слагаемые, получим выражение, идентичное сумме сторон $AB + CD$: $BC + DA = (AK + BK) + (CM + DM) = AB + CD$

Таким образом, доказано, что в описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + DA$. Это свойство также известно как теорема Пито.

Ответ: В описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны.

Признак описанного четырехугольника

Признак описанного четырехугольника является теоремой, обратной свойству. Он позволяет определить, можно ли вписать в данный четырехугольник окружность.

Теорема (признак): Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.

Доказательство (методом от противного): Пусть в выпуклом четырехугольнике $ABCD$ выполняется равенство $AB + CD = BC + DA$. Предположим, что в этот четырехугольник нельзя вписать окружность.

В любой четырехугольник можно вписать окружность, касающуюся как минимум трех его сторон. Построим окружность, которая касается сторон $AB, BC$ и $DA$. Так как мы предположили, что четырехугольник не является описанным, то эта окружность не касается четвертой стороны $CD$.

Проведем из точки $C$ касательную к построенной окружности, отличную от $BC$. Пусть эта касательная пересекает прямую $AD$ в точке $D'$. Теперь у нас есть четырехугольник $ABCD'$, который по построению является описанным.

Согласно свойству описанного четырехугольника (доказанному выше), для $ABCD'$ выполняется равенство: $AB + CD' = BC + AD'$

По условию для исходного четырехугольника $ABCD$ у нас есть равенство: $AB + CD = BC + DA$

Вычтем второе равенство из первого: $(AB + CD') - (AB + CD) = (BC + AD') - (BC + DA)$ $CD' - CD = AD' - DA$

Рассмотрим возможные случаи расположения точки $D'$ на прямой $AD$ относительно точки $D$:

1. Точка $D'$ лежит между $A$ и $D$. В этом случае $DA = AD' + D'D$, и следовательно, $AD' - DA = -D'D$. Тогда равенство принимает вид $CD' - CD = -D'D$, или $CD = CD' + D'D$. Для треугольника $CDD'$ это означает, что одна сторона ($CD$) равна сумме двух других сторон ($CD'$ и $D'D$). Согласно неравенству треугольника, это возможно только в том случае, если точка $D'$ лежит на отрезке $CD$. Поскольку $D'$ также лежит на прямой $AD$, это может быть истинно только если $D'$ и $D$ совпадают, что противоречит нашему допущению ($D' \ne D$).
2. Точка $D$ лежит между $A$ и $D'$. В этом случае $AD' = AD + DD'$, и следовательно, $AD' - DA = DD'$. Тогда равенство принимает вид $CD' - CD = DD'$, или $CD' = CD + DD'$. Для треугольника $CDD'$ это означает, что сторона $CD'$ равна сумме двух других сторон $CD$ и $DD'$. Опять же, это возможно только если точка $D$ лежит на отрезке $CD'$. Это означает, что $D$ и $D'$ совпадают, что также приводит к противоречию.

Полученное противоречие в обоих случаях доказывает, что наше начальное предположение было неверным. Следовательно, точка $D'$ должна совпадать с точкой $D$, а касательная $CD'$ — со стороной $CD$. Это означает, что сторона $CD$ касается построенной окружности, и в четырехугольник $ABCD$ можно вписать окружность.

Ответ: Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность.