Номер 53, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

53. Какое отношение между фигурами называется равенством фигур; подобием фигур?

равенством фигур

Равенство, или конгруэнтность, фигур — это отношение, которое означает, что фигуры абсолютно одинаковы по форме и размерам. Если две фигуры равны, то одну из них можно наложить на другую так, что они полностью совпадут всеми своими точками.

С точки зрения геометрии преобразований, две фигуры $F_1$ и $F_2$ называются равными, если существует движение (или изометрия), которое отображает фигуру $F_1$ на фигуру $F_2$. Движение — это преобразование плоскости (или пространства), сохраняющее расстояния между точками. Основными видами движений являются параллельный перенос, поворот и осевая симметрия (зеркальное отражение).

Например, для равенства двух треугольников необходимо и достаточно, чтобы их соответственные стороны и соответственные углы были равны. Это проверяется с помощью признаков равенства треугольников (по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим к ней углам). Равенство фигур $F_1$ и $F_2$ обозначается символом $F_1 \cong F_2$ (иногда в школьном курсе используется знак $F_1 = F_2$).

Ответ: Равенством фигур называется такое отношение, при котором фигуры имеют одинаковую форму и одинаковые размеры, то есть их можно совместить наложением с помощью движения (параллельного переноса, поворота, отражения).

подобием фигур

Подобие фигур — это отношение, которое означает, что фигуры имеют одинаковую форму, но могут различаться размерами. Одна фигура является как бы увеличенной или уменьшенной копией другой.

Формально, две фигуры $F_1$ и $F_2$ называются подобными, если существует преобразование подобия, которое отображает фигуру $F_1$ на фигуру $F_2$. Преобразование подобия — это такое преобразование, при котором расстояния между любыми парами точек изменяются в одно и то же число раз. Это число $k > 0$ называется коэффициентом подобия. Если $k=1$, преобразование подобия является движением, а фигуры — равными. Если $k>1$, происходит увеличение. Если $0 < k < 1$, происходит уменьшение.

Основные свойства подобных фигур:

• Соответственные углы подобных фигур равны.
• Отношение длин любых соответственных отрезков (сторон, высот, медиан, биссектрис, периметров и т.д.) равно коэффициенту подобия $k$.
• Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия: $S_2/S_1 = k^2$.
• Отношение объёмов подобных тел (в пространстве) равно кубу коэффициента подобия: $V_2/V_1 = k^3$.

Любые два круга, любые два квадрата, любые два равносторонних треугольника всегда подобны друг другу. Подобие фигур $F_1$ и $F_2$ обозначается символом $F_1 \sim F_2$.

Ответ: Подобием фигур называется такое отношение, при котором фигуры имеют одинаковую форму, но не обязательно одинаковые размеры. У подобных фигур все соответственные углы равны, а все соответственные линейные размеры (стороны, высоты и т.д.) пропорциональны с одним и тем же коэффициентом (коэффициентом подобия).