Номер 380, страница 142 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

380. $OA$ и $OB$ — отрезки одной прямой с длинами $a$ и $b$ соответственно.

Найдите расстояние между:

a) точками $A$ и $B$;

б) точкой $O$ и серединой $C$ отрезка $AB$.

Поскольку в условии задачи не указано взаимное расположение точек A и B относительно точки O на прямой, для нахождения искомых расстояний необходимо рассмотреть два возможных случая.

а) точками А и В;

Случай 1: Точки A и B лежат по одну сторону от точки O.
В этом случае расстояние между точками A и B равно модулю разности длин отрезков OA и OB. Если $OA = a$ и $OB = b$, то расстояние $AB$ вычисляется как $AB = |OA - OB| = |a - b|$.

Случай 2: Точки A и B лежат по разные стороны от точки O.
В этом случае точка O находится между точками A и B. Расстояние между A и B будет равно сумме длин отрезков OA и OB.
$AB = OA + OB = a + b$.

Таким образом, в зависимости от расположения точек, возможны два варианта ответа.
Ответ: $|a - b|$ или $a + b$.

б) точкой О и серединой С отрезка АВ.

Для нахождения расстояния OC также рассмотрим два случая.

Случай 1: Точки A и B лежат по одну сторону от точки O.
Расположим точки на числовой прямой так, чтобы точка O совпадала с началом координат (0). Тогда точки A и B будут иметь координаты $a$ и $b$. Координата середины отрезка AB, точки C, вычисляется как среднее арифметическое координат его концов:
$C_{коорд} = \frac{a+b}{2}$.
Расстояние от O до C равно модулю этой координаты: $OC = |\frac{a+b}{2}|$. Так как $a$ и $b$ являются длинами, они положительны, поэтому $OC = \frac{a+b}{2}$.

Случай 2: Точки A и B лежат по разные стороны от точки O.
Пусть точка O снова совпадает с началом координат (0). Тогда точки A и B будут иметь координаты с разными знаками, например, $a$ и $-b$. Координата середины отрезка AB, точки C, будет равна:
$C_{коорд} = \frac{a+(-b)}{2} = \frac{a-b}{2}$.
Расстояние от O до C равно модулю этой координаты: $OC = |\frac{a-b}{2}| = \frac{|a-b|}{2}$.

Следовательно, для этого пункта также существует два возможных ответа.
Ответ: $\frac{a+b}{2}$ или $\frac{|a-b|}{2}$.