Номер 384, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

384. Есть два параллельных отрезка $BD$ и $CE$ с концами на сторонах угла $A$ (рис. 300). Прямые, проходящие через концы отрезка $BD$ и перпендикулярные сторонам угла, пересекаются в точке $F$, а такие же прямые для отрезка $CE$ — в точке $G$. Докажите, что точки $A$, $F$, $G$ лежат на одной прямой.

Для доказательства того, что точки $A$, $F$ и $G$ лежат на одной прямой, воспользуемся свойством ортоцентра треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, прямая, проходящая через точку $B$ и перпендикулярная стороне $AE$ угла $A$, является высотой треугольника $ABD$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AD$. Аналогично, прямая, проходящая через точку $D$ и перпендикулярная стороне $AC$ угла $A$, является высотой треугольника $ABD$, опущенной из вершины $D$ на сторону $AB$.

Точка $F$ по определению является точкой пересечения этих двух высот. Точка пересечения высот треугольника — это его ортоцентр. Следовательно, точка $F$ является ортоцентром треугольника $ABD$.

Прямая, проходящая через вершину треугольника и его ортоцентр, содержит третью высоту этого треугольника. Таким образом, прямая $AF$ содержит высоту треугольника $ABD$, опущенную из вершины $A$ на сторону $BD$. Это означает, что прямая $AF$ перпендикулярна прямой $BD$, то есть $AF \perp BD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACE$. По аналогии с предыдущими рассуждениями, прямая, проходящая через точку $C$ и перпендикулярная $AE$, является высотой треугольника $ACE$ из вершины $C$. Прямая, проходящая через точку $E$ и перпендикулярная $AC$, является высотой из вершины $E$.

Точка $G$ является точкой пересечения этих двух высот, а значит, $G$ — ортоцентр треугольника $ACE$.

Следовательно, прямая $AG$ проходит через вершину $A$ и ортоцентр $G$, а значит, содержит высоту треугольника $ACE$ из вершины $A$. Это означает, что прямая $AG$ перпендикулярна прямой $CE$, то есть $AG \perp CE$.

Итак, мы установили два факта: $AF \perp BD$ и $AG \perp CE$.

По условию задачи отрезки $BD$ и $CE$ параллельны: $BD \parallel CE$.

Из курса геометрии известно, что если некоторая прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и второй. Поскольку $AF \perp BD$ и $BD \parallel CE$, мы можем заключить, что $AF \perp CE$.

Таким образом, мы имеем две прямые, $AF$ и $AG$, которые обе проходят через точку $A$ и обе перпендикулярны одной и той же прямой $CE$. Согласно аксиоме, через точку на плоскости можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной прямой. Следовательно, прямые $AF$ и $AG$ должны совпадать.

Поскольку прямые $AF$ и $AG$ — это одна и та же прямая, точки $A$, $F$ и $G$ лежат на этой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.