Номер 388, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

388. Найдите сторону $AC$ треугольника $ABC$ и дайте геометрическое объяснение полученному результату, учитывая, что:

а) угол $A$ равен $60^\circ$, а стороны $AB$ и $BC$ — соответственно 15 и 13;

б) угол $A$ равен $120^\circ$, а стороны $AB$ и $BC$ — соответственно 16 и 19;

в) угол $A$ равен $60^\circ$, а стороны $AB$ и $BC$ — соответственно $2\sqrt{6}$ и $6\sqrt{2}$;

г) угол $A$ равен $\alpha$, а стороны $AB$ и $BC$ — соответственно $c$ и $a$; установите, сколько решений имеет задача при различных значениях $a$, $b$ и $\alpha$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой косинусов для треугольника $ABC$. В стандартных обозначениях: $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$. Теорема косинусов, примененная к углу $A$, имеет вид:$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$Нам нужно найти сторону $b = AC$. Перепишем это уравнение как квадратное относительно $b$:$b^2 - (2c \cos A)b + (c^2 - a^2) = 0$Решения этого уравнения можно найти по формуле:$b = \frac{2c \cos A \pm \sqrt{(2c \cos A)^2 - 4(c^2 - a^2)}}{2} = c \cos A \pm \sqrt{c^2 \cos^2 A - c^2 + a^2}$$b = c \cos A \pm \sqrt{a^2 - c^2(1 - \cos^2 A)} = c \cos A \pm \sqrt{a^2 - c^2 \sin^2 A}$Действительные и положительные значения $b$ будут являться решениями задачи.

а) угол А равен 60°, а стороны AB и BC — соответственно 15 и 13

Дано: $\angle A = 60^\circ$, $c = AB = 15$, $a = BC = 13$. Найти $b = AC$. Подставляем значения в выведенную формулу:$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$b = 15 \cdot \frac{1}{2} \pm \sqrt{13^2 - 15^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$$b = 7.5 \pm \sqrt{169 - 225 \cdot \frac{3}{4}}$$b = 7.5 \pm \sqrt{169 - 168.75}$$b = 7.5 \pm \sqrt{0.25}$$b = 7.5 \pm 0.5$Получаем два возможных значения для стороны $AC$:$b_1 = 7.5 + 0.5 = 8$$b_2 = 7.5 - 0.5 = 7$Оба значения положительны, следовательно, задача имеет два решения.

Геометрическое объяснение: Построим отрезок $AB$ длиной 15. Отложим от точки $A$ луч под углом $60^\circ$ к $AB$. Вершина $C$ должна лежать на этом луче. Также вершина $C$ должна находиться на расстоянии 13 от точки $B$, то есть лежать на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $a=13$. Высота треугольника, опущенная из вершины $B$ на прямую $AC$, равна $h = c \sin A = 15 \sin 60^\circ = 15\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 12.99$. Поскольку радиус окружности ($a=13$) больше высоты ($h \approx 12.99$) и меньше длины стороны $AB$ ($c=15$), окружность пересечет луч в двух точках ($C_1$ и $C_2$). Это означает, что существуют два треугольника, удовлетворяющих условиям задачи, со сторонами $AC_1=7$ и $AC_2=8$.

Ответ: $AC = 7$ или $AC = 8$.

б) угол А равен 120°, а стороны AB и BC — соответственно 16 и 19

Дано: $\angle A = 120^\circ$, $c = AB = 16$, $a = BC = 19$. Найти $b = AC$. Угол $A$ тупой, поэтому сторона $a$, лежащая напротив него, должна быть самой длинной в треугольнике. Проверяем условие $a > c$: $19 > 16$. Условие выполняется, значит, решение может существовать. Подставляем значения в формулу:$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$, $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$.$b = 16 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \pm \sqrt{19^2 - 16^2 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$$b = -8 \pm \sqrt{361 - 256 \cdot \frac{3}{4}}$$b = -8 \pm \sqrt{361 - 192}$$b = -8 \pm \sqrt{169}$$b = -8 \pm 13$Получаем два математических решения:$b_1 = -8 + 13 = 5$$b_2 = -8 - 13 = -21$Длина стороны треугольника должна быть положительной, поэтому подходит только $b=5$.

Геометрическое объяснение: Построим отрезок $AB$ длиной 16 и отложим от точки $A$ луч под углом $120^\circ$. Вершина $C$ лежит на этом луче и на окружности с центром в $B$ и радиусом $a=19$. Так как угол $A$ тупой, а $a > c$, окружность пересечет луч в одной точке, образуя требуемый треугольник. Второе пересечение окружности с прямой $AC$ даст треугольник с углом при вершине $A$, равным $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, что не удовлетворяет условию.

Ответ: $AC = 5$.

в) угол А равен 60°, а стороны AB и BC — соответственно $2\sqrt{6}$ и $6\sqrt{2}$

Дано: $\angle A = 60^\circ$, $c = AB = 2\sqrt{6}$, $a = BC = 6\sqrt{2}$. Найти $b = AC$. Угол $A$ острый. Сравним стороны $a$ и $c$:$a^2 = (6\sqrt{2})^2 = 36 \cdot 2 = 72$$c^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \cdot 6 = 24$Поскольку $a^2 > c^2$, то $a > c$. В случае острого угла $A$ и $a > c$ задача имеет единственное решение. Подставляем значения в формулу:$b = 2\sqrt{6} \cdot \cos 60^\circ \pm \sqrt{(6\sqrt{2})^2 - (2\sqrt{6})^2 \cdot \sin^2 60^\circ}$$b = 2\sqrt{6} \cdot \frac{1}{2} \pm \sqrt{72 - 24 \cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}$$b = \sqrt{6} \pm \sqrt{72 - 24 \cdot \frac{3}{4}}$$b = \sqrt{6} \pm \sqrt{72 - 18}$$b = \sqrt{6} \pm \sqrt{54}$$b = \sqrt{6} \pm \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{6} \pm 3\sqrt{6}$Получаем два математических решения:$b_1 = \sqrt{6} + 3\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$$b_2 = \sqrt{6} - 3\sqrt{6} = -2\sqrt{6}$Длина стороны может быть только положительной, поэтому подходит только $b = 4\sqrt{6}$.

Геометрическое объяснение: Как и в предыдущих случаях, вершина $C$ лежит на пересечении луча, выходящего из $A$ под углом $60^\circ$, и окружности с центром в $B$ и радиусом $a=6\sqrt{2}$. Так как $a>c$, окружность пересекает прямую $AC$ в двух точках, но только одна из них лежит на луче, образующем угол $60^\circ$. Вторая точка лежит на продолжении луча за точку $A$, и угол при вершине $A$ для такого треугольника будет $120^\circ$.

Ответ: $AC = 4\sqrt{6}$.

г) угол А равен $\alpha$, а стороны AB и BC — соответственно $c$ и $a$; установите, сколько решений имеет задача при различных значениях $a, c$ и $\alpha$.

Количество решений задачи (число возможных длин стороны $b=AC$) зависит от соотношения между сторонами $a$, $c$ и углом $\alpha$. Для анализа введем высоту $h$, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC$: $h = c \sin \alpha$. Для существования треугольника необходимо, чтобы сторона $a$ была не меньше высоты $h$, то есть $a \ge h$. Рассмотрим три случая в зависимости от величины угла $\alpha$.

1. Угол $\alpha$ тупой ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$)

• Если $a \le c$, решений нет, так как сторона, лежащая напротив тупого угла, должна быть наибольшей в треугольнике.
• Если $a > c$, существует одно решение.

2. Угол $\alpha$ прямой ($\alpha = 90^\circ$)

• Если $a \le c$, решений нет, так как гипотенуза $a$ должна быть больше катета $c$.
• Если $a > c$, существует одно решение (треугольник прямоугольный, $b = \sqrt{a^2-c^2}$).

3. Угол $\alpha$ острый ($0^\circ < \alpha < 90^\circ$)

• Если $a < h$ (где $h = c \sin\alpha$), решений нет (сторона $a$ "не дотягивается" до прямой $AC$).
• Если $a = h$, существует одно решение (треугольник будет прямоугольным с прямым углом $C$).
• Если $h < a < c$, существуют два решения (этот случай соответствует пункту а)).
• Если $a \ge c$, существует одно решение (этот случай соответствует пункту в)).

Ответ: Количество решений зависит от соотношения $a$, $c$ и $\alpha$, как описано выше.