Номер 393, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

393. Найдите радиус окружности, проходящей через:

а) две противоположные вершины прямоугольника с измерениями 4 и 6 и середину большей стороны;

б) две противоположные вершины прямоугольника с измерениями 4 и 6 и середину меньшей стороны;

в) вершины острых углов и середину большей стороны прямоугольного треугольника с катетами 12 и 5;

г) центр квадрата со стороной $a$, его вершину и середину стороны, не содержащей этой вершины.

Для нахождения радиуса окружности, проходящей через три точки, мы можем рассмотреть треугольник, образованный этими точками. Радиус описанной окружности этого треугольника и будет искомым радиусом. Радиус $R$ описанной окружности треугольника со сторонами $a, b, c$ и площадью $S$ вычисляется по формуле: $R = \frac{abc}{4S}$.

а) две противоположные вершины прямоугольника с измерениями 4 и 6 и середину большей стороны;

Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AD=BC=4$ и $AB=CD=6$. Введем систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат, а сторона $AB$ лежала на оси $Ox$.
Тогда координаты вершин: $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(6, 4)$, $D(0, 4)$.
Возьмем две противоположные вершины, например, $A$ и $C$. Их координаты $A(0, 0)$ и $C(6, 4)$.
Большая сторона — $AB$ или $CD$. Возьмем сторону $AB$. Ее середина — точка $M$.
Координаты точки $M$: $M(\frac{0+6}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(3, 0)$.
Нам нужно найти радиус окружности, проходящей через точки $A(0, 0)$, $M(3, 0)$ и $C(6, 4)$. Эти точки образуют треугольник $\triangle AMC$.
Найдем длины сторон этого треугольника:
$a = MC = \sqrt{(6-3)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
$b = AC = \sqrt{(6-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{6^2 + 4^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
$c = AM = \sqrt{(3-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$.
Площадь треугольника $\triangle AMC$ можно найти, используя основание $AM$, лежащее на оси $Ox$, и высоту, равную ординате точки $C$.
$S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot y_C = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$.
Теперь вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{5 \cdot 2\sqrt{13} \cdot 3}{4 \cdot 6} = \frac{30\sqrt{13}}{24} = \frac{5\sqrt{13}}{4}$.
Ответ: $R = \frac{5\sqrt{13}}{4}$.

б) две противоположные вершины прямоугольника с измерениями 4 и 6 и середину меньшей стороны;

Используем ту же систему координат и тот же прямоугольник $ABCD$, что и в пункте а).
Вершины $A(0, 0)$, $B(6, 0)$, $C(6, 4)$, $D(0, 4)$.
Возьмем те же противоположные вершины $A(0, 0)$ и $C(6, 4)$.
Меньшая сторона — $AD$ или $BC$. Возьмем сторону $AD$. Ее середина — точка $N$.
Координаты точки $N$: $N(\frac{0+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = N(0, 2)$.
Найдем радиус окружности, проходящей через точки $A(0, 0)$, $N(0, 2)$ и $C(6, 4)$. Эти точки образуют треугольник $\triangle ANC$.
Найдем длины сторон этого треугольника:
$a = NC = \sqrt{(6-0)^2 + (4-2)^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36+4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$.
$b = AC = \sqrt{(6-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{36+16} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.
$c = AN = \sqrt{(0-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2} = 2$.
Площадь треугольника $\triangle ANC$ можно найти, используя основание $AN$, лежащее на оси $Oy$, и высоту, равную абсциссе точки $C$.
$S_{ANC} = \frac{1}{2} \cdot AN \cdot x_C = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 = 6$.
Вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{2\sqrt{10} \cdot 2\sqrt{13} \cdot 2}{4 \cdot 6} = \frac{8\sqrt{130}}{24} = \frac{\sqrt{130}}{3}$.
Ответ: $R = \frac{\sqrt{130}}{3}$.

в) вершины острых углов и середину большей стороны прямоугольного треугольника с катетами 12 и 5;

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle PQR$ с прямым углом при вершине $P$. Пусть катеты $PQ=12$ (больший катет) и $PR=5$.
Введем систему координат так, чтобы вершина $P$ находилась в начале координат, катет $PQ$ лежал на оси $Ox$, а катет $PR$ — на оси $Oy$.
Тогда координаты вершин: $P(0, 0)$, $Q(12, 0)$, $R(0, 5)$.
Вершины острых углов — это $Q(12, 0)$ и $R(0, 5)$.
Середина большего катета $PQ$ — точка $M$.
Координаты точки $M$: $M(\frac{0+12}{2}, \frac{0+0}{2}) = M(6, 0)$.
Найдем радиус окружности, проходящей через точки $Q(12, 0)$, $R(0, 5)$ и $M(6, 0)$. Эти точки образуют треугольник $\triangle QRM$.
Найдем длины сторон этого треугольника:
$a = RM = \sqrt{(6-0)^2 + (0-5)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36+25} = \sqrt{61}$.
$b = QR$ (гипотенуза исходного треугольника) $= \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13$.
$c = QM = \sqrt{(12-6)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{6^2} = 6$.
Площадь треугольника $\triangle QRM$ можно найти, используя основание $QM$, лежащее на оси $Ox$, и высоту, равную ординате точки $R$.
$S_{QRM} = \frac{1}{2} \cdot QM \cdot y_R = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$.
Вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S} = \frac{\sqrt{61} \cdot 13 \cdot 6}{4 \cdot 15} = \frac{78\sqrt{61}}{60} = \frac{13\sqrt{61}}{10}$.
Ответ: $R = \frac{13\sqrt{61}}{10}$.

г) центр квадрата со стороной a, его вершину и середину стороны, не содержащей этой вершины.

Рассмотрим квадрат $ABCD$ со стороной $a$. Введем систему координат так, чтобы его вершины имели координаты $A(0, 0)$, $B(a, 0)$, $C(a, a)$, $D(0, a)$.
Центр квадрата $O_{sq}$ находится в точке пересечения диагоналей: $O_{sq}(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.
Возьмем вершину $A(0, 0)$.
Стороны, содержащие вершину $A$, — это $AB$ и $AD$. Стороны, не содержащие вершину $A$, — это $BC$ и $CD$.
Возьмем середину стороны $BC$, точку $M$.
Координаты точки $M$: $M(\frac{a+a}{2}, \frac{0+a}{2}) = M(a, \frac{a}{2})$.
Найдем радиус окружности, проходящей через точки $O_{sq}(\frac{a}{2}, \frac{a}{2})$, $A(0, 0)$ и $M(a, \frac{a}{2})$. Эти точки образуют треугольник $\triangle O_{sq}AM$.
Найдем длины сторон этого треугольника:
$s_1 = AM = \sqrt{(a-0)^2 + (\frac{a}{2}-0)^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
$s_2 = O_{sq}M = \sqrt{(a-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2}-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + 0^2} = \frac{a}{2}$.
$s_3 = O_{sq}A = \sqrt{(\frac{a}{2}-0)^2 + (\frac{a}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{2a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
Площадь треугольника $\triangle O_{sq}AM$ можно найти, используя основание $O_{sq}M$, которое параллельно оси $Ox$, и высоту, равную разности ординат $A$ и $O_{sq}M$.
$S = \frac{1}{2} \cdot O_{sq}M \cdot (y_{O_{sq}} - y_A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot (\frac{a}{2} - 0) = \frac{a^2}{8}$.
Вычислим радиус описанной окружности:
$R = \frac{s_1 s_2 s_3}{4S} = \frac{(\frac{a\sqrt{5}}{2}) \cdot (\frac{a}{2}) \cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2})}{4 \cdot \frac{a^2}{8}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{10}}{8}}{\frac{a^2}{2}} = \frac{a^3\sqrt{10}}{8} \cdot \frac{2}{a^2} = \frac{a\sqrt{10}}{4}$.
Ответ: $R = \frac{a\sqrt{10}}{4}$.