Номер 395, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

395. Катеты прямоугольного треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

Для решения задачи воспользуемся известными формулами для радиусов вписанной и вневписанных окружностей, адаптировав их для прямоугольного треугольника. Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза — $c$. Площадь прямоугольного треугольника $S$ и его полупериметр $p$ вычисляются по формулам:

$S = \frac{1}{2}ab$

$p = \frac{a+b+c}{2}$

Также для прямоугольного треугольника справедливо соотношение теоремы Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности ($r$) можно найти по общей формуле $r = \frac{S}{p}$. Однако для прямоугольного треугольника существует более простая и известная формула.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с вершиной прямого угла $C$. Пусть вписанная окружность касается катетов $a$ и $b$ в точках $K$ и $M$, а гипотенузы $c$ — в точке $N$. Центр вписанной окружности $O$ равноудален от сторон на расстояние $r$. Четырехугольник $CKOM$ является квадратом, так как у него все углы прямые и смежные стороны $OK$ и $OM$ равны $r$. Следовательно, отрезки $CK$ и $CM$ также равны $r$.

По свойству касательных, проведенных из одной вершины к окружности, имеем:

$AN = AM = b - r$

$BN = BK = a - r$

Гипотенуза $c$ равна сумме отрезков $AN$ и $BN$:

$c = AN + BN = (b-r) + (a-r)$

$c = a + b - 2r$

Отсюда выразим радиус $r$:

$2r = a + b - c$

$r = \frac{a+b-c}{2}$

Ответ: $r = \frac{a+b-c}{2}$.

Радиусы вневписанных окружностей

У треугольника есть три вневписанные окружности, каждая из которых касается одной из сторон и продолжений двух других. Обозначим радиусы этих окружностей как $r_a$, $r_b$ и $r_c$, где индекс указывает на сторону, которой касается окружность.

Общая формула для радиуса вневписанной окружности, касающейся стороны $x$, имеет вид: $r_x = \frac{S}{p-x}$.

Для прямоугольного треугольника существуют более простые соотношения:

1. Радиус окружности, касающейся катета $a$ ($r_a$)
   Для прямоугольного треугольника радиус вневписанной окружности, касающейся катета, равен полупериметру минус другой катет.
   $r_a = p - b = \frac{a+b+c}{2} - b = \frac{a-b+c}{2}$
2. Радиус окружности, касающейся катета $b$ ($r_b$)
   Аналогично,
   $r_b = p - a = \frac{a+b+c}{2} - a = \frac{-a+b+c}{2}$
3. Радиус окружности, касающейся гипотенузы $c$ ($r_c$)
   Радиус вневписанной окружности, касающейся гипотенузы, в прямоугольном треугольнике равен полупериметру.
   $r_c = p = \frac{a+b+c}{2}$

Ответ: Радиусы вневписанных окружностей равны $r_a = \frac{a-b+c}{2}$, $r_b = \frac{-a+b+c}{2}$ и $r_c = \frac{a+b+c}{2}$.