Номер 397, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

397. Учитывая, что точка $L$ — основание биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ и $AB > AC$, сравните:

а) углы $ALB$ и $ALC$;

б) отрезки $BL$ и $CL$.

а) углы ALB и ALC

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, сторона $AB$ больше стороны $AC$ ($AB > AC$). В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Следовательно, угол $\angle ACB$, лежащий против стороны $AB$, больше угла $\angle ABC$, лежащего против стороны $AC$. Таким образом, $\angle ACB > \angle ABC$. Для краткости будем обозначать их как $\angle C$ и $\angle B$, то есть $\angle C > \angle B$.

Углы $\angle ALB$ и $\angle ALC$ являются внутренними углами треугольников $ABL$ и $ACL$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $ABL$. Сумма его углов равна $180^\circ$: $\angle ALB + \angle ABL + \angle BAL = 180^\circ$ Отсюда выразим угол $\angle ALB$: $\angle ALB = 180^\circ - \angle ABL - \angle BAL$

Рассмотрим треугольник $ACL$. Сумма его углов также равна $180^\circ$: $\angle ALC + \angle ACL + \angle CAL = 180^\circ$ Отсюда выразим угол $\angle ALC$: $\angle ALC = 180^\circ - \angle ACL - \angle CAL$

Поскольку $AL$ — биссектриса угла $A$, она делит его на два равных угла: $\angle BAL = \angle CAL$. Теперь сравним выражения для углов $\angle ALB$ и $\angle ALC$. Мы знаем, что $\angle ABL = \angle B$, $\angle ACL = \angle C$ и $\angle BAL = \angle CAL$. Так как $\angle C > \angle B$, то вычитая из $180^\circ$ и равных углов $\angle BAL$ и $\angle CAL$ соответственно углы $\angle C$ и $\angle B$, мы получим: $180^\circ - \angle BAL - \angle B > 180^\circ - \angle CAL - \angle C$ Следовательно, $\angle ALB > \angle ALC$.

Ответ: $\angle ALB > \angle ALC$.

б) отрезки BL и CL

Для сравнения длин отрезков $BL$ и $CL$ воспользуемся свойством биссектрисы треугольника.

Свойство биссектрисы гласит, что биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим (прилежащим) сторонам. Для биссектрисы $AL$ треугольника $ABC$ это свойство записывается в виде пропорции: $\frac{BL}{CL} = \frac{AB}{AC}$

По условию задачи нам дано, что $AB > AC$. Так как длины сторон — положительные числа, мы можем разделить обе части неравенства на $AC$: $\frac{AB}{AC} > 1$

Подставив это в нашу пропорцию, получаем: $\frac{BL}{CL} > 1$

Умножим обе части этого неравенства на $CL$ (длина отрезка, поэтому $CL > 0$). В результате получим: $BL > CL$

Ответ: $BL > CL$.