Номер 390, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

390. Найдите отношение сторон $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$, углы $A$ и $B$ которого соответственно равны $30^\circ$ и $45^\circ$.

Для нахождения отношения сторон треугольника воспользуемся расширенной теоремой синусов. Она гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих им углов. Для треугольника $ABC$ теорема синусов записывается следующим образом:

$$ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} $$

В нашем треугольнике $ABC$ стороне $AC$ противолежит угол $B$, а стороне $BC$ противолежит угол $A$. Таким образом, мы можем записать соотношение для этих сторон:

$$ \frac{AC}{\sin(\angle B)} = \frac{BC}{\sin(\angle A)} $$

Из условия задачи нам даны значения углов:

$\angle A = 30^\circ$

$\angle B = 45^\circ$

Нам необходимо найти отношение $\frac{AC}{BC}$. Выразим это отношение из полученной пропорции:

$$ \frac{AC}{BC} = \frac{\sin(\angle B)}{\sin(\angle A)} $$

Теперь подставим в эту формулу значения синусов для углов $45^\circ$ и $30^\circ$.

Значение синуса угла $45^\circ$:

$$ \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

Значение синуса угла $30^\circ$:

$$ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $$

Подставим эти значения в формулу для отношения сторон:

$$ \frac{AC}{BC} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} $$

Для того чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$$ \frac{AC}{BC} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{1} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} $$

Таким образом, отношение стороны $AC$ к стороне $BC$ равно $\sqrt{2}$.

Ответ: $\frac{AC}{BC} = \sqrt{2}$.