Номер 396, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

396. Учитывая, что точка $M$ — основание медианы $AM$ треугольника $ABC$ и $AB > AC$, сравните углы:

а) $AMB$ и $AMC$;

б) $BAM$ и $CAM$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, в котором проведена медиана $AM$. Это означает, что точка $M$ является серединой стороны $BC$, и, следовательно, $BM = CM$. По условию задачи, сторона $AB$ длиннее стороны $AC$, то есть $AB > AC$.

а) AMB и AMC

Для сравнения углов $\angle AMB$ и $\angle AMC$ воспользуемся теоремой косинусов для треугольников $\triangle AMB$ и $\triangle AMC$.

В треугольнике $\triangle AMB$ по теореме косинусов имеем: $AB^2 = AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle AMB)$

В треугольнике $\triangle AMC$ по теореме косинусов имеем: $AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\angle AMC)$

Из условия задачи мы знаем, что $AB > AC$, следовательно, $AB^2 > AC^2$. Также, поскольку $AM$ — медиана, $BM = CM$. Подставим выражения для квадратов сторон в неравенство: $AM^2 + BM^2 - 2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle AMB) > AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\angle AMC)$

Учитывая, что $BM = CM$, и вычитая из обеих частей $AM^2 + BM^2$, получаем: $-2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle AMB) > -2 \cdot AM \cdot BM \cdot \cos(\angle AMC)$

Разделим обе части неравенства на отрицательное число $-2 \cdot AM \cdot BM$. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $\cos(\angle AMB) < \cos(\angle AMC)$

Углы $\angle AMB$ и $\angle AMC$ являются смежными, их сумма равна $180^\circ$. Оба угла находятся в диапазоне от $0^\circ$ до $180^\circ$. На этом интервале функция косинуса является монотонно убывающей, то есть большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса. Следовательно, из неравенства $\cos(\angle AMB) < \cos(\angle AMC)$ вытекает, что: $\angle AMB > \angle AMC$

Ответ: $\angle AMB > \angle AMC$.

б) BAM и CAM

Для сравнения углов $\angle BAM$ и $\angle CAM$ воспользуемся методом дополнительного построения.

1. Продлим медиану $AM$ за точку $M$ на ее собственную длину до точки $D$ так, что $AM = MD$.

2. Рассмотрим получившийся четырехугольник $ABDC$. Его диагонали $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $M$. По построению $AM = MD$, и по определению медианы $BM = CM$. Так как диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам, то $ABDC$ — параллелограмм.

3. Основное свойство параллелограмма — равенство противоположных сторон. Следовательно, $AB = DC$.

4. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Его стороны — $AC$, $DC$ и $AD$. Мы знаем, что $DC = AB$. По условию задачи $AB > AC$, значит, в треугольнике $\triangle ADC$ сторона $DC > AC$.

5. В любом треугольнике против большей стороны лежит больший угол. В $\triangle ADC$ против стороны $DC$ лежит угол $\angle CAM$ (он же $\angle CAD$), а против стороны $AC$ лежит угол $\angle ADC$. Так как $DC > AC$, то и $\angle CAM > \angle ADC$.

6. Сравним углы $\angle BAM$ и $\angle ADC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle DCM$. У них:

• $AM = DM$ (по построению)
• $BM = CM$ (так как $AM$ — медиана)
• $\angle AMB = \angle DMC$ (как вертикальные углы)

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle DCM$ по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).

7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAM = \angle CDM$. Угол $\angle CDM$ является тем же углом, что и $\angle ADC$. Таким образом, $\angle BAM = \angle ADC$.

8. Подставив это равенство в неравенство, полученное в пункте 5 ($\angle CAM > \angle ADC$), получаем: $\angle CAM > \angle BAM$

Ответ: $\angle BAM < \angle CAM$.