Номер 389, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

389. Найдите периметр треугольника, у которого одна сторона равна 6 см, а прилежащие к ней углы — $45^\circ$ и $60^\circ$.

Для нахождения периметра треугольника необходимо знать длины всех трех его сторон. По условию, нам дана длина одной стороны и два прилежащих к ней угла. Обозначим стороны треугольника как $a$, $b$, $c$, а противолежащие им углы как $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.

Пусть нам дана сторона $c = 6$ см, а прилежащие к ней углы $\angle A = 45^\circ$ и $\angle B = 60^\circ$. Периметр $P$ равен $a + b + c$. Нам нужно найти длины сторон $a$ и $b$.

1. Находим третий угол

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle C$, который лежит напротив известной стороны $c$:
$\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$.

2. Используем теорему синусов

Теорема синусов устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами противолежащих им углов:$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

С помощью этой теоремы мы можем найти неизвестные стороны $a$ и $b$.

3. Находим сторону a

Из соотношения $\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$ выразим сторону $a$:
$a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 45^\circ}{\sin 75^\circ}$
Нам понадобятся точные значения синусов:$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$\sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
Подставляем значения в формулу для $a$:
$a = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)}{4}} = \frac{12}{\sqrt{3} + 1}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{3} - 1)$:
$a = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \frac{12(\sqrt{3} - 1)}{2} = 6(\sqrt{3} - 1)$ см.

4. Находим сторону b

Аналогично из соотношения $\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ выразим сторону $b$:
$b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{6 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ}$
Используем значение $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$:
$b = \frac{6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$
Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $(\sqrt{6} - \sqrt{2})$:
$b = \frac{12\sqrt{3}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{12\sqrt{18} - 12\sqrt{6}}{6 - 2} = \frac{12 \cdot 3\sqrt{2} - 12\sqrt{6}}{4} = \frac{36\sqrt{2} - 12\sqrt{6}}{4} = 9\sqrt{2} - 3\sqrt{6}$ см.

5. Находим периметр

Теперь, зная все три стороны, найдем периметр $P$:
$P = a + b + c = 6(\sqrt{3} - 1) + (9\sqrt{2} - 3\sqrt{6}) + 6$
$P = 6\sqrt{3} - 6 + 9\sqrt{2} - 3\sqrt{6} + 6$
$P = 9\sqrt{2} + 6\sqrt{3} - 3\sqrt{6}$ см.
Для более компактной записи можно вынести общий множитель 3:
$P = 3(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{6})$ см.

Ответ: $3(3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - \sqrt{6})$ см.