Номер 386, страница 143 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

386. Определите, сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внешних углов которого равен:

а) $36^\circ$;

б) $24^\circ$;

в) $14,4^\circ$;

г) $6\frac{2}{3}^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся свойством внешних углов выпуклого многоугольника. Сумма всех внешних углов любого выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, всегда равна $360^\circ$.

В правильном многоугольнике все стороны и все углы равны. Следовательно, все внешние углы также равны между собой. Если у многоугольника $n$ сторон (и $n$ вершин), а каждый внешний угол равен $\alpha_{внешн}$, то справедливо равенство:

$n \cdot \alpha_{внешн} = 360^\circ$

Отсюда можно выразить количество сторон $n$:

$n = \frac{360^\circ}{\alpha_{внешн}}$

Применим эту формулу для каждого случая.

а) Если каждый внешний угол равен $36^\circ$, то количество сторон многоугольника равно:

$n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$

Ответ: 10.

б) Если каждый внешний угол равен $24^\circ$, то количество сторон многоугольника равно:

$n = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15$

Ответ: 15.

в) Если каждый внешний угол равен $14,4^\circ$, то количество сторон многоугольника равно:

$n = \frac{360^\circ}{14,4^\circ} = \frac{3600}{144} = 25$

Ответ: 25.

г) Если каждый внешний угол равен $6\frac{2}{3}^\circ$, сначала представим это значение в виде неправильной дроби:

$6\frac{2}{3}^\circ = \frac{6 \times 3 + 2}{3}^\circ = \frac{20}{3}^\circ$

Теперь найдем количество сторон многоугольника:

$n = \frac{360^\circ}{\frac{20}{3}^\circ} = 360 \times \frac{3}{20} = \frac{360 \times 3}{20} = 18 \times 3 = 54$

Ответ: 54.