Номер 392, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

392. Из точки K, что лежит внутри угла $ABC$ величиной $60^\circ$, опущены перпендикуляры $KM$ и $KN$ на его стороны. Найдите отрезок $MN$, учитывая, что $KB = a$.

Рассмотрим четырехугольник BMKN. По условию задачи, KM и KN — это перпендикуляры, опущенные из точки K на стороны угла ABC. Это означает, что KM ⊥ BA и KN ⊥ BC.

Следовательно, углы $∠KMB$ и $∠KNB$ являются прямыми:

$∠KMB = 90°$

$∠KNB = 90°$

Рассмотрим треугольники $ΔKMB$ и $ΔKNB$. Оба они являются прямоугольными, и у них общая гипотенуза KB.

Точки, из которых данный отрезок (в нашем случае KB) виден под прямым углом, лежат на окружности, диаметром которой является этот отрезок. Таким образом, точки M и N лежат на окружности с диаметром KB.

Это также означает, что все четыре точки B, M, K, N лежат на одной окружности.

Диаметр этой окружности равен длине отрезка KB, то есть $d = a$. Радиус этой окружности $R = \frac{d}{2} = \frac{a}{2}$.

Теперь рассмотрим треугольник BMN. Он вписан в эту окружность. Отрезок MN является хордой этой окружности. Угол $∠MBN$ (который равен данному углу $∠ABC = 60°$) — это вписанный угол, который опирается на хорду MN.

Длину хорды в окружности можно найти по формуле, связывающей хорду, радиус и вписанный угол, на который она опирается (следствие из теоремы синусов):

$MN = 2R \cdot \sin(∠MBN)$

Подставим известные нам значения: $R = \frac{a}{2}$ и $∠MBN = 60°$.

$MN = 2 \cdot \frac{a}{2} \cdot \sin(60°)$

$MN = a \cdot \sin(60°)$

Значение синуса 60° равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$MN = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $MN = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.