Номер 398, страница 144 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

398. Учитывая, что точки $M, L, H$ — соответственно основания медианы $AM$, биссектрисы $AL$ и высоты $AH$ треугольника $ABC$ с неравными сторонами $AB$ и $AC$, установите взаимное расположение этих точек на прямой $BC$.

Для установления взаимного расположения точек $M$, $L$, $H$ на прямой $BC$, необходимо рассмотреть два возможных случая, поскольку по условию задачи стороны $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ не равны. Взаимное расположение точек зависит от того, какая из этих сторон длиннее. Для простоты будем считать, что углы $\angle B$ и $\angle C$ острые, тогда все три точки $M, L, H$ лежат на отрезке $BC$. Выводы остаются верными и для тупоугольных треугольников.

В этом случае угол, лежащий напротив стороны $AC$, больше угла, лежащего напротив стороны $AB$. То есть, $\angle B > \angle C$.

1. Сравним положение точек $H$ (основание высоты) и $M$ (основание медианы).
Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AHB$ и $\triangle AHC$. По теореме Пифагора имеем $AB^2 = AH^2 + BH^2$ и $AC^2 = AH^2 + CH^2$.
Из условия $AC > AB$ следует, что $AC^2 > AB^2$. Тогда $AH^2 + CH^2 > AH^2 + BH^2$, откуда $CH^2 > BH^2$, и, поскольку длины отрезков — положительные величины, $CH > BH$.
Точка $M$ является серединой стороны $BC$, поэтому $BM = CM = \frac{BC}{2}$. Так как $BC = BH + CH$, то $BM = \frac{BH+CH}{2}$. Поскольку $CH > BH$, точка $H$ должна быть ближе к вершине $B$, чем середина отрезка $BC$. Следовательно, точка $H$ лежит между точками $B$ и $M$.

2. Сравним положение точек $L$ (основание биссектрисы) и $M$ (основание медианы).
Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону в отношении, равном отношению прилежащих сторон: $\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC}$.
Так как $AC > AB$, то отношение $\frac{AB}{AC} < 1$. Следовательно, $\frac{BL}{LC} < 1$, что означает $BL < LC$.
Поскольку $M$ — середина $BC$, а отрезок $BL$ короче отрезка $LC$, точка $L$ должна находиться ближе к вершине $B$, чем точка $M$. Таким образом, точка $L$ лежит между точками $B$ и $M$.

3. Сравним положение точек $H$ (основание высоты) и $L$ (основание биссектрисы).
Рассмотрим угол $\angle HAL$ между высотой $AH$ и биссектрисой $AL$. Величина этого угла определяется формулой $\angle HAL = \frac{|\angle B - \angle C|}{2}$.
Так как $AC > AB$, то $\angle B > \angle C$, и $\angle HAL = \frac{\angle B - \angle C}{2} > 0$.
Это означает, что лучи $AH$ и $AL$ не совпадают. Положительное значение угла $\angle HAL$ показывает, что (если смотреть из вершины $A$) луч $AL$ отклоняется от высоты $AH$ в сторону большего угла при основании, то есть в сторону $\angle B$. Однако, если рассмотреть проекции на прямую BC, это означает, что точка $L$ находится дальше от вершины $B$, чем точка $H$. Таким образом, точка $H$ лежит между точками $B$ и $L$.

Объединяя полученные результаты ($H$ между $B$ и $M$, $L$ между $B$ и $M$, $H$ между $B$ и $L$), мы получаем следующую последовательность точек на прямой $BC$: $B, H, L, M, C$.

В этом случае $\angle C > \angle B$. Рассуждения аналогичны первому случаю, но приводят к противоположному результату.

1. $H$ и $M$: Из $AB > AC$ следует $BH > CH$. Так как $M$ — середина $BC$, точка $H$ будет ближе к вершине $C$. Следовательно, точка $M$ лежит между точками $B$ и $H$.

2. $L$ и $M$: Из $AB > AC$ следует $\frac{BL}{LC} = \frac{AB}{AC} > 1$, то есть $BL > LC$. Так как $M$ — середина $BC$, точка $L$ будет ближе к вершине $C$. Следовательно, точка $M$ лежит между точками $B$ и $L$.

3. $H$ и $L$: Так как $\angle C > \angle B$, угол $\angle HAL = \frac{|\angle B - \angle C|}{2} > 0$. Это означает, что $L$ находится между $H$ и $M$. Более детально, луч $AL$ отклоняется от $AH$ в сторону вершины $C$. Это значит, что точка $L$ лежит между точками $M$ и $H$.

Объединяя эти результаты ($M$ между $B$ и $H$, $M$ между $B$ и $L$, $L$ между $M$ и $H$), мы получаем следующую последовательность точек на прямой $BC$: $B, M, L, H, C$.

Вывод: Взаимное расположение точек зависит от соотношения длин сторон $AB$ и $AC$. Однако в любом случае основание биссектрисы ($L$) всегда лежит между основанием высоты ($H$) и основанием медианы ($M$).

Ответ: Если $AC > AB$, то точки на прямой $BC$ располагаются в порядке $B, H, L, M, C$. Если $AB > AC$, то точки располагаются в порядке $B, M, L, H, C$. В общем случае, точка $L$ всегда находится между точками $H$ и $M$.