Номер 55, страница 140 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

55. Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

Признаки равенства прямоугольных треугольников являются следствиями общих признаков равенства треугольников. Поскольку в прямоугольных треугольниках один из углов всегда прямой (равен $90^\circ$), это позволяет сформулировать специальные, более простые признаки равенства именно для этого вида треугольников.

1. По двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны. Этот признак вытекает из первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). В прямоугольном треугольнике угол между катетами — прямой, то есть равен $90^\circ$. Таким образом, если два катета одного треугольника равны двум катетам другого, то треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если катеты одного треугольника соответственно равны катетам другого.

2. По катету и острому углу

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого, то такие треугольники равны. Этот признак рассматривает два возможных случая:

• Равенство по катету и прилежащему к нему острому углу. Этот случай является частным для второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам). Один из прилежащих к катету углов — острый, а второй — прямой.
• Равенство по катету и противолежащему ему острому углу. Если известен один острый угол $\alpha$, то второй острый угол треугольника всегда равен $90^\circ - \alpha$. Таким образом, если у двух треугольников равны катет и противолежащий ему угол, то у них будут равны и прилежащие к этому катету углы, что сводит задачу к предыдущему случаю.

Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если катет и острый угол (прилежащий или противолежащий) одного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого.

3. По гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Поэтому, если у двух прямоугольных треугольников равны по одному острому углу, то равны и вторые острые углы. Следовательно, треугольники равны по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого.

4. По гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны. Этот признак можно доказать с помощью теоремы Пифагора. Пусть даны два прямоугольных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с прямыми углами $\angle C$ и $\angle C_1$. Пусть у них равны гипотенузы $AB = A_1B_1$ и катеты $AC = A_1C_1$. По теореме Пифагора, $BC^2 = AB^2 - AC^2$ и $B_1C_1^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2$. Так как правые части равенств равны, то $BC^2 = B_1C_1^2$, а значит $BC = B_1C_1$. Получаем, что у треугольников равны все три соответствующие стороны, следовательно, они равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого.