Номер 43, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

43. Как радиусы вписанной в треугольник окружности и описанной около треугольника окружности связаны с основными элементами треугольника и его площадью?

Радиус вписанной в треугольник окружности

Радиус вписанной в треугольник окружности (инрадиус), обозначаемый как $r$, связан с площадью треугольника $S$ и его полупериметром $p$. Основными элементами треугольника являются его стороны $a, b, c$ и противолежащие им углы.

Связь выводится из формулы площади треугольника. Если соединить центр вписанной окружности (инцентр) с вершинами треугольника, то он разобьется на три меньших треугольника. Площадь исходного треугольника будет равна сумме площадей этих трех треугольников.

В каждом из трех полученных треугольников одна из сторон исходного треугольника ($a$, $b$ или $c$) будет основанием, а радиус вписанной окружности $r$ — высотой, проведенной к этому основанию.

Таким образом, площадь $S$ можно выразить как сумму площадей трех треугольников: $S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = r \cdot \left(\frac{a+b+c}{2}\right)$

Выражение в скобках является полупериметром треугольника и обозначается буквой $p$. $p = \frac{a+b+c}{2}$

Следовательно, формула, связывающая площадь, полупериметр и радиус вписанной окружности, выглядит так: $S = p \cdot r$

Из нее легко выразить радиус $r$: $r = \frac{S}{p}$

Ответ: Радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру: $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь, а $p = \frac{a+b+c}{2}$ — полупериметр.

Радиус описанной около треугольника окружности

Радиус описанной около треугольника окружности (циркумрадиус), обозначаемый как $R$, связан со сторонами треугольника $a, b, c$, его углами $A, B, C$ и площадью $S$.

Ключевой для нахождения этого радиуса является обобщенная теорема синусов, которая гласит, что отношения сторон треугольника к синусам противолежащих углов равны между собой и равны диаметру ($2R$) описанной окружности: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$

Из этой теоремы можно напрямую выразить радиус описанной окружности через любую сторону и противолежащий ей угол: $R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$

Чтобы связать радиус $R$ с площадью треугольника $S$, можно использовать формулу площади $S = \frac{1}{2}ab\sin C$. Из теоремы синусов выразим $\sin C = \frac{c}{2R}$. Подставим это выражение в формулу площади: $S = \frac{1}{2}ab \left(\frac{c}{2R}\right) = \frac{abc}{4R}$

Из полученного соотношения можно выразить радиус описанной окружности через длины всех трех сторон и площадь: $R = \frac{abc}{4S}$

Ответ: Радиус описанной окружности связан с элементами треугольника через обобщенную теорему синусов $R = \frac{a}{2\sin A}$, а также через его стороны и площадь формулой $R = \frac{abc}{4S}$.