Номер 31, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

31. Что выражает число $\pi$?

Число $\pi$ (пи) — это фундаментальная математическая константа, которая выражает отношение длины окружности к её диаметру. Это означает, что для любой окружности, если поделить её длину ($C$) на её диаметр ($d$), результат всегда будет одним и тем же числом — $\pi$.

Математически это записывается формулой: $$ \pi = \frac{C}{d} $$ Поскольку диаметр равен двум радиусам ($d = 2r$), эту зависимость также можно выразить как отношение длины окружности к её удвоенному радиусу, что дает известную формулу для длины окружности: $$ C = 2\pi r $$

Число $\pi$ обладает важными математическими свойствами. Во-первых, оно иррационально. Это значит, что его невозможно представить в виде простой дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, а его десятичное представление бесконечно и непериодично: $\pi \approx 3.1415926535...$. Во-вторых, $\pi$ — трансцендентное число, что является более сильным свойством и означает, что оно не является корнем никакого ненулевого многочлена с рациональными коэффициентами.

Помимо своего основного геометрического смысла, число $\pi$ появляется во множестве других формул в математике и науке, не связанных напрямую с окружностями. Например: оно используется для вычисления площади круга ($S = \pi r^2$), объёма шара ($V = \frac{4}{3}\pi r^3$) и площади поверхности сферы ($A = 4\pi r^2$). В тригонометрии число $\pi$ является основой для измерения углов в радианах, где полный оборот составляет $2\pi$ радиан. Константа также встречается в теории вероятностей (например, в формуле нормального распределения) и в фундаментальных законах физики, таких как закон Кулона, принцип неопределённости Гейзенберга и уравнения общей теории относительности.

Таким образом, число $\pi$ — это не просто коэффициент для расчётов, связанных с кругом, а одна из важнейших констант, описывающая фундаментальные соотношения в различных областях знаний.

Ответ: Число $\pi$ выражает постоянное отношение длины любой окружности к её диаметру. Это иррациональная и трансцендентная константа, приблизительно равная $3.14159$, которая также играет ключевую роль во многих других разделах математики и физики.