Номер 30, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

30. Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника; признаки равнобедренного треугольника.

Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием. Углы, прилежащие к основанию, называются углами при основании, а угол, противолежащий основанию и образованный боковыми сторонами, — углом при вершине.

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства — это утверждения, которые выполняются для любого треугольника, если известно, что он равнобедренный.

• Углы при основании равны. В равнобедренном треугольнике углы, противолежащие равным сторонам (боковым сторонам), равны. Если в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, то углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA$.

• Биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из угла при вершине к основанию, является также медианой (делит основание пополам) и высотой (перпендикулярна основанию). Это свойство можно сформулировать и для медианы или высоты: медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой; высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

Ответ: Основные свойства равнобедренного треугольника: 1. Углы при основании равны. 2. Биссектриса, медиана и высота, проведенные к основанию из противолежащей вершины, совпадают.

Признаки равнобедренного треугольника

Признаки — это условия (теоремы), при выполнении которых можно утверждать, что треугольник является равнобедренным.

• Первый признак (по двум равным углам). Если в треугольнике два угла равны, то он является равнобедренным. Стороны, противолежащие этим равным углам, будут его боковыми сторонами. Например, если в треугольнике $ABC$ выполняется равенство углов $\angle A = \angle C$, то из этого следует, что стороны $AB = BC$, и треугольник является равнобедренным.

• Второй признак (по совпадению высоты и медианы). Если в треугольнике высота, проведенная к одной из сторон, совпадает с медианой, проведенной к той же стороне, то этот треугольник равнобедренный.

• Третий признак (по совпадению высоты и биссектрисы). Если в треугольнике высота совпадает с биссектрисой, проведенной из той же вершины, то этот треугольник равнобедренный.

• Четвертый признак (по совпадению медианы и биссектрисы). Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, проведенной из той же вершины, то этот треугольник равнобедренный.

Ответ: Основные признаки равнобедренного треугольника: 1. Если два угла треугольника равны, он равнобедренный. 2. Если в треугольнике медиана является его высотой, он равнобедренный. 3. Если в треугольнике биссектриса является его высотой, он равнобедренный. 4. Если в треугольнике медиана является его биссектрисой, он равнобедренный.