Номер 20, страница 139 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

20. Сформулируйте свойства-равенства, связывающие стороны и углы треугольника.

Основные свойства-равенства, которые связывают стороны и углы треугольника, можно сформулировать в виде следующих теорем и свойств:

Теорема синусов: Эта теорема устанавливает пропорциональность между сторонами треугольника и синусами противолежащих им углов. Отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла является постоянной величиной для данного треугольника и равно диаметру ($2R$) описанной около него окружности. Для треугольника со сторонами $a, b, c$ и противолежащими им углами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно, теорема записывается так. Ответ: $ \frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R $

Теорема косинусов: Эта теорема является обобщением теоремы Пифагора и связывает длину одной стороны с длинами двух других сторон и косинусом угла между ними. Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для стороны $c$ и противолежащего ей угла $\gamma$ формула выглядит следующим образом. Ответ: $ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma $

Теорема о сумме углов треугольника: Хотя эта теорема связывает только углы, она является фундаментальным равенством, используемым при решении любых задач с треугольниками. Сумма внутренних углов любого треугольника в евклидовой геометрии всегда равна $180^\circ$ (или $\pi$ радиан). Для углов $\alpha, \beta, \gamma$ это равенство имеет вид. Ответ: $ \alpha + \beta + \gamma = 180^\circ $

Свойство равнобедренного треугольника: Это свойство напрямую связывает равенство сторон с равенством углов. В равнобедренном треугольнике (треугольнике с двумя равными сторонами) углы, противолежащие равным сторонам, также равны. И наоборот: если два угла в треугольнике равны, то стороны, противолежащие этим углам, равны. Ответ: если $a=b$, то $\alpha = \beta$.