Номер 16, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

16. Сформулируйте признаки параллельных прямых через углы, образованные при пересечении двух прямых третьей.

Признаки параллельности двух прямых — это теоремы, позволяющие сделать вывод о параллельности двух прямых на основе равенства или определённой суммы углов, образованных при пересечении этих прямых третьей (секущей).

Рассмотрим две прямые a и b, пересечённые секущей c. Для наглядности используем следующую нумерацию углов:

Существует три основных признака параллельности прямых.

Признак по накрест лежащим углам: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Накрест лежащие углы — это углы, которые лежат по разные стороны от секущей c и между прямыми a и b. На рисунке это пары углов ($∠3$ и $∠5$) и ($∠4$ и $∠6$). Таким образом, если $∠3 = ∠5$ или $∠4 = ∠6$, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Ответ: Если накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, равны, то прямые параллельны.

Признак по соответственным углам: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то такие прямые параллельны. Соответственные углы — это углы, которые лежат по одну сторону от секущей c, причём один угол лежит между прямыми a и b, а другой — нет, или оба лежат "сверху" или "снизу" от прямых a и b. На рисунке это пары ($∠1$ и $∠5$), ($∠2$ и $∠6$), ($∠3$ и $∠7$), ($∠4$ и $∠8$). Следовательно, если выполняется любое из равенств: $∠1 = ∠5$, или $∠2 = ∠6$, или $∠3 = ∠7$, или $∠4 = ∠8$, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Ответ: Если соответственные углы, образованные при пересечении двух прямых третьей, равны, то прямые параллельны.

Признак по односторонним углам: Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ$, то такие прямые параллельны. Внутренние односторонние углы — это углы, которые лежат по одну сторону от секущей c и между прямыми a и b. На рисунке это пары углов ($∠3$ и $∠6$) и ($∠4$ и $∠5$). Таким образом, если $∠3 + ∠6 = 180^\circ$ или $∠4 + ∠5 = 180^\circ$, то прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Ответ: Если сумма внутренних односторонних углов, образованных при пересечении двух прямых третьей, равна $180^\circ$, то прямые параллельны.