Номер 10, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

10. Какой отрезок называют перпендикуляром к плоскости; наклонной к плоскости; проекцией наклонной к плоскости?

перпендикуляром к плоскости

Рассмотрим плоскость $\alpha$ и точку $A$, которая не лежит в этой плоскости. Перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $\alpha$, называется отрезок $AH$, где $H$ — точка на плоскости $\alpha$, такой, что прямая $AH$ перпендикулярна плоскости $\alpha$. Прямая считается перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку их пересечения (точку $H$).

Точка $H$ называется основанием перпендикуляра. Длина отрезка $AH$ является кратчайшим расстоянием от точки $A$ до плоскости $\alpha$.

Ответ: Перпендикуляром к плоскости называют отрезок, который соединяет точку, не лежащую на плоскости, с точкой на плоскости и принадлежит прямой, перпендикулярной этой плоскости.

наклонной к плоскости

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведен перпендикуляр $AH$. Наклонной, проведенной из точки $A$ к плоскости $\alpha$, называется любой отрезок $AM$, который соединяет точку $A$ с некоторой точкой $M$ на плоскости $\alpha$, при этом точка $M$ не совпадает с основанием перпендикуляра $H$ (то есть $M \neq H$).

Точка $M$ называется основанием наклонной. Любая наклонная всегда длиннее перпендикуляра, проведенного из той же точки к той же плоскости ($AM > AH$).

Ответ: Наклонной к плоскости называют любой отрезок, соединяющий точку, не лежащую на плоскости, с точкой на плоскости, но не являющийся перпендикуляром к ней.

проекцией наклонной к плоскости

Пусть из точки $A$ к плоскости $\alpha$ проведены перпендикуляр $AH$ и наклонная $AM$. Проекцией наклонной $AM$ на плоскость $\alpha$ называется отрезок $HM$, который соединяет основание перпендикуляра ($H$) и основание наклонной ($M$).

Можно представить, что перпендикуляр $AH$, наклонная $AM$ и ее проекция $HM$ образуют прямоугольный треугольник $\triangle AHM$, где $\angle AHM = 90^\circ$. Длина проекции связана с длиной наклонной через косинус угла между наклонной и плоскостью: $HM = AM \cdot \cos(\angle AMH)$.

Ответ: Проекцией наклонной к плоскости называют отрезок, соединяющий основание перпендикуляра и основание этой наклонной, если они проведены из одной и той же точки.