Номер 5, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

5. Сформулируйте свойства параллельности прямой и плоскости; перпендикулярности прямой и плоскости.

Свойства параллельности прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек. Обозначение: $a \parallel \alpha$, где $a$ — прямая, $\alpha$ — плоскость.
Основные свойства, связывающие эти понятия, формулируются в виде следующих теорем:

1. Признак параллельности прямой и плоскости.
Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
Формально: если прямая $a \not\subset \alpha$, и в плоскости $\alpha$ существует прямая $b$ ($b \subset \alpha$) такая, что $a \parallel b$, то $a \parallel \alpha$.

2. Свойство (следствие из признака).
Если плоскость $\beta$ проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает эту плоскость по прямой $b$, то прямая пересечения $b$ параллельна прямой $a$.
Формально: если $a \parallel \alpha$, $a \subset \beta$ и $\beta \cap \alpha = b$, то $a \parallel b$.

3. Свойство.
Если прямая $a$ параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей $\alpha$ и $\beta$, то она параллельна линии их пересечения.
Формально: если $a \parallel \alpha$, $a \parallel \beta$ и $\alpha \cap \beta = c$, то $a \parallel c$.

Ответ: Основные свойства параллельности прямой $a$ и плоскости $\alpha$:
1) Признак: если прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ и параллельна некоторой прямой $b$, лежащей в этой плоскости, то прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$.
2) Свойство: если плоскость проходит через прямую $a$, параллельную плоскости $\alpha$, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна прямой $a$.
3) Свойство: если прямая параллельна двум пересекающимся плоскостям, то она параллельна линии их пересечения.

Свойства перпендикулярности прямой и плоскости

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Обозначение: $a \perp \alpha$.
Основные свойства, связанные с этим понятием:

1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна и самой плоскости.
Формально: если в плоскости $\alpha$ существуют две пересекающиеся прямые $b$ и $c$, и прямая $a$ перпендикулярна им обеим ($a \perp b$ и $a \perp c$), то прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

2. Свойство о двух прямых, перпендикулярных плоскости.
Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости, параллельны между собой.
Формально: если $a \perp \alpha$ и $b \perp \alpha$, то $a \parallel b$.

3. Свойство о параллельной прямой и перпендикулярной плоскости.
Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.
Формально: если $a \parallel b$ и $a \perp \alpha$, то $b \perp \alpha$.

4. Свойство о существовании и единственности.
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.

Ответ: Основные свойства перпендикулярности прямой $a$ и плоскости $\alpha$:
1) Признак: если прямая $a$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $\alpha$, то $a \perp \alpha$.
2) Свойство: если две различные прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.
3) Свойство: если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и вторая прямая перпендикулярна этой плоскости.