Номер 6, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

6. Сформулируйте признаки параллельности прямой и плоскости; перпендикулярности прямой и плоскости.

Признаки параллельности прямой и плоскости

Это фундаментальная теорема в стереометрии, которая позволяет определить, параллельна ли прямая плоскости. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости): Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Для того чтобы доказать параллельность прямой $a$ и плоскости $\alpha$, необходимо выполнить следующие условия:

• Найти в плоскости $\alpha$ прямую $b$ ($b \subset \alpha$).
• Доказать, что прямая $a$ параллельна прямой $b$ ($a \parallel b$).
• Убедиться, что прямая $a$ не лежит в плоскости $\alpha$ ($a \not\subset \alpha$).

Если все условия выполнены, то можно сделать вывод, что прямая $a$ параллельна плоскости $\alpha$ ($a \parallel \alpha$).

Этот признак очень удобен для доказательств в задачах, так как сводит пространственную задачу о параллельности прямой и плоскости к планиметрической задаче о параллельности двух прямых.

Ответ: Прямая параллельна плоскости, если она не лежит в этой плоскости и параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости.

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости

Этот признак позволяет установить перпендикулярность прямой ко всей плоскости. Прямая называется перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

Теорема (признак перпендикулярности прямой и плоскости): Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Для того чтобы доказать перпендикулярность прямой $a$ и плоскости $\alpha$, необходимо выполнить следующие условия:

• Найти в плоскости $\alpha$ две прямые $b$ и $c$ ($b \subset \alpha$, $c \subset \alpha$).
• Убедиться, что эти прямые пересекаются ($b \cap c = M$).
• Доказать, что прямая $a$ перпендикулярна каждой из этих прямых ($a \perp b$ и $a \perp c$).

Если все условия выполнены, то можно сделать вывод, что прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\alpha$ ($a \perp \alpha$).

Ключевым моментом в признаке является то, что две прямые в плоскости, которым перпендикулярна исходная прямая, должны пересекаться. Если они будут параллельны, то перпендикулярность прямой к плоскости не гарантируется.

Ответ: Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.