Номер 8, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Сформулируйте свойства параллельности плоскостей; перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Обозначается как $\alpha \parallel \beta$.

1. Свойство транзитивности. Если две плоскости параллельны третьей плоскости, то они параллельны между собой. То есть, если плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\gamma$ и плоскость $\beta$ параллельна плоскости $\gamma$, то плоскости $\alpha$ и $\beta$ также параллельны.
Символически: если $\alpha \parallel \gamma$ и $\beta \parallel \gamma$, то $\alpha \parallel \beta$.

2. Свойство линий пересечения. Если две параллельные плоскости $\alpha$ и $\beta$ пересекаются третьей плоскостью $\gamma$, то линии их пересечения $a$ и $b$ параллельны.
Символически: если $\alpha \parallel \beta$, $\gamma \cap \alpha = a$ и $\gamma \cap \beta = b$, то $a \parallel b$.

3. Свойство отрезков параллельных прямых. Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны. Если прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны, а плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, и прямые пересекают плоскости в точках $A_1, B_1$ и $A_2, B_2$ соответственно, то $|A_1A_2| = |B_1B_2|$.

4. Свойство перпендикулярной прямой. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и второй плоскости.
Символически: если $\alpha \parallel \beta$ и прямая $a \perp \alpha$, то $a \perp \beta$.

Ответ: Основные свойства параллельности плоскостей — это транзитивность (если $\alpha \parallel \gamma$ и $\beta \parallel \gamma$, то $\alpha \parallel \beta$), параллельность линий пересечения с секущей плоскостью, равенство отрезков параллельных прямых, заключенных между плоскостями, и перпендикулярность общей прямой к обеим плоскостям (если $a \perp \alpha$ и $\alpha \parallel \beta$, то $a \perp \beta$).

Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен $90^\circ$. Обозначается как $\alpha \perp \beta$.

1. Признак перпендикулярности плоскостей. Если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Символически: если прямая $a \subset \alpha$ и $a \perp \beta$, то $\alpha \perp \beta$.

2. Основное свойство перпендикулярных плоскостей. Если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, то любая прямая $a$, лежащая в одной из плоскостей (например, в $\alpha$) и перпендикулярная линии их пересечения $c$, будет перпендикулярна другой плоскости ($\beta$).
Символически: если $\alpha \perp \beta$, $c = \alpha \cap \beta$, $a \subset \alpha$ и $a \perp c$, то $a \perp \beta$.

3. Следствие из основного свойства. Если две плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны, и из точки, принадлежащей плоскости $\alpha$, опущен перпендикуляр на плоскость $\beta$, то этот перпендикуляр целиком лежит в плоскости $\alpha$.

4. Свойство линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных третьей. Если две пересекающиеся плоскости $\alpha$ и $\beta$ перпендикулярны третьей плоскости $\gamma$, то линия их пересечения $a$ также перпендикулярна плоскости $\gamma$.
Символически: если $\alpha \perp \gamma$, $\beta \perp \gamma$ и $\alpha \cap \beta = a$, то $a \perp \gamma$.

Ответ: Ключевые свойства перпендикулярности плоскостей: признак перпендикулярности (если плоскость $\alpha$ проходит через прямую, перпендикулярную плоскости $\beta$, то $\alpha \perp \beta$) и основное свойство (если $\alpha \perp \beta$, то прямая в плоскости $\alpha$, перпендикулярная линии пересечения $c$, перпендикулярна плоскости $\beta$).