Номер 9, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

9. Сформулируйте признаки параллельности плоскостей; перпендикулярности плоскостей.

Две плоскости в пространстве называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Для определения параллельности плоскостей используется следующий основной признак.

Теорема (признак параллельности двух плоскостей):
Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Рассмотрим это условие формально. Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$.
1. В плоскости $\alpha$ лежат две прямые $a$ и $b$, которые пересекаются в точке $M$ (то есть, $a \subset \alpha$, $b \subset \alpha$, и $a \cap b = M$).
2. В плоскости $\beta$ лежат две прямые $a_1$ и $b_1$, которые пересекаются в точке $N$ (то есть, $a_1 \subset \beta$, $b_1 \subset \beta$, и $a_1 \cap b_1 = N$).
Если прямая $a$ параллельна прямой $a_1$ ($a \parallel a_1$) и прямая $b$ параллельна прямой $b_1$ ($b \parallel b_1$), то из этого следует, что плоскость $\alpha$ параллельна плоскости $\beta$ ($\alpha \parallel \beta$).

Также полезно помнить следствие, которое можно использовать как дополнительный признак:
Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой. Если $\alpha \parallel \gamma$ и $\beta \parallel \gamma$, то $\alpha \parallel \beta$.

Ответ: Если две пересекающиеся прямые в одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Две плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен $90^\circ$. Угол между пересекающимися плоскостями — это угол между прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения из одной и той же точки.

Теорема (признак перпендикулярности двух плоскостей):
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Рассмотрим это условие формально. Пусть даны две плоскости $\alpha$ и $\beta$, пересекающиеся по некоторой прямой.
1. В плоскости $\alpha$ лежит прямая $a$ ($a \subset \alpha$).
2. Прямая $a$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($a \perp \beta$).
При выполнении этих двух условий можно утверждать, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости $\beta$ ($\alpha \perp \beta$).

На практике для использования этого признака сначала доказывают перпендикулярность прямой и плоскости. Напомним, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Ответ: Если плоскость проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.