Номер 13, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

13. Сформулируйте свойство смежных углов; вертикальных углов.

Свойство смежных углов

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой (являются дополнительными лучами).

Свойство: Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Объяснение: Пусть у нас есть два смежных угла, $\angle AOB$ и $\angle BOC$. У них общая сторона — луч $OB$. Стороны $OA$ и $OC$ являются дополнительными лучами, то есть вместе они образуют прямую $AC$. Угол, образованный прямой, называется развернутым углом, и его градусная мера по определению равна $180^\circ$. Поскольку смежные углы $\angle AOB$ и $\angle BOC$ вместе составляют развернутый угол $\angle AOC$, их сумма равна $180^\circ$.

Математически это записывается так: $\angle AOB + \angle BOC = 180^\circ$.

Ответ: Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Свойство вертикальных углов

Вертикальные углы — это пара углов, которые образуются при пересечении двух прямых, и стороны одного угла являются продолжением сторон другого.

Свойство: Вертикальные углы равны.

Объяснение: Пусть две прямые пересекаются и образуют четыре угла: $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. Пары вертикальных углов здесь — это $\angle 1$ и $\angle 3$, а также $\angle 2$ и $\angle 4$.

Докажем, что $\angle 1 = \angle 3$.
Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, так как у них есть общая сторона, а две другие образуют прямую. По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:
$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

Точно так же углы $\angle 3$ и $\angle 2$ являются смежными. Следовательно, их сумма также равна $180^\circ$:
$\angle 3 + \angle 2 = 180^\circ$.

Так как правые части обоих равенств одинаковы ($180^\circ$), мы можем приравнять их левые части:
$\angle 1 + \angle 2 = \angle 3 + \angle 2$.

Вычитая из обеих частей этого равенства величину угла $\angle 2$, мы получаем:
$\angle 1 = \angle 3$.

Аналогично можно доказать, что $\angle 2 = \angle 4$.

Ответ: Вертикальные углы равны.