Номер 11, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

11. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.

Теорема о трех перпендикулярах устанавливает зависимость между перпендикулярностью прямой и наклонной и перпендикулярностью этой же прямой и проекции наклонной. Теорема состоит из двух частей: прямой и обратной теоремы.

Для формулировки теоремы введем основные понятия. Пусть из точки, не лежащей в плоскости, проведены:

• перпендикуляр — отрезок, соединяющий точку с плоскостью и перпендикулярный ей;
• наклонная — любой отрезок, соединяющий ту же точку с плоскостью, но не являющийся перпендикуляром;
• проекция наклонной — отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной.

Прямая теорема
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.

Обратная теорема
Если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Обе теоремы можно объединить в одно утверждение. Пусть $AH$ — перпендикуляр к плоскости $\alpha$, $AM$ — наклонная, а $HM$ — её проекция на плоскость $\alpha$. Пусть прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$ и проходит через точку $M$.
Тогда прямая $a$ перпендикулярна наклонной $AM$ ($a \perp AM$) тогда и только тогда, когда прямая $a$ перпендикулярна проекции $HM$ ($a \perp HM$).

Ответ: Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярна самой наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции этой наклонной на данную плоскость.