Номер 2, страница 138 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

2. Сформулируйте свойства скрещивающихся прямых; параллельных прямых.

Свойства скрещивающихся прямых

Скрещивающиеся прямые — это две прямые в пространстве, которые не лежат в одной плоскости. Как следствие, они не пересекаются и не параллельны.

Ключевые свойства и теоремы, описывающие скрещивающиеся прямые:

1. Признак скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых (пусть прямая $a$) лежит в некоторой плоскости ($\alpha$), а другая прямая ($b$) пересекает эту плоскость в точке ($M$), которая не принадлежит первой прямой ($M \notin a$), то эти прямые скрещиваются.

2. Существование параллельной плоскости. Через любую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная второй прямой, и притом только одна. Например, через прямую $a$ можно провести единственную плоскость $\beta$, параллельную прямой $b$.

3. Существование пары параллельных плоскостей. Через две скрещивающиеся прямые можно провести единственную пару параллельных плоскостей, каждая из которых содержит одну из этих прямых.

4. Общий перпендикуляр. Две скрещивающиеся прямые имеют один и только один общий перпендикуляр. Это отрезок, концы которого лежат на этих прямых и который перпендикулярен обеим прямым. Длина этого отрезка является кратчайшим расстоянием между скрещивающимися прямыми.

Ответ: Основные свойства скрещивающихся прямых: 1) признак: если прямая $a$ лежит в плоскости $\alpha$, а прямая $b$ пересекает $\alpha$ в точке, не лежащей на $a$, то прямые скрещиваются; 2) через одну из них можно провести единственную плоскость, параллельную другой; 3) существует единственная пара параллельных плоскостей, содержащих эти прямые; 4) они имеют единственный общий перпендикуляр, длина которого равна расстоянию между ними.

Свойства параллельных прямых

Параллельные прямые — это прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются. В пространстве это определение сохраняется: $a \parallel b$, если они лежат в одной плоскости и $a \cap b = \emptyset$.

Ключевые свойства и аксиомы, описывающие параллельные прямые:

1. Аксиома параллельных прямых (V постулат Евклида). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

2. Свойство транзитивности. Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Если $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то $a \parallel b$.

3. Свойства углов, образованных при пересечении секущей. Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой (секущей), то:
• накрест лежащие углы равны;
• соответственные углы равны;
• сумма односторонних углов равна $180^\circ$.

4. Связь с параллельностью плоскости. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости. И наоборот, если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения параллельна данной прямой.

Ответ: Основные свойства параллельных прямых: 1) аксиома: через точку вне прямой проходит единственная прямая, параллельная ей; 2) транзитивность: если $a \parallel c$ и $b \parallel c$, то $a \parallel b$; 3) при пересечении секущей накрест лежащие и соответственные углы равны, а сумма односторонних — $180^\circ$; 4) прямая параллельна плоскости, если она параллельна какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.