Номер 376, страница 117 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

376. Докажите, что в правильном октаэдре:

а) противоположащие ребра параллельны;

б) противоположащие грани параллельны;

в) расстояния между противоположащими гранями равны;

г) периметр сечения, параллельного грани, — величина постоянная.

Пусть правильный октаэдр задан в декартовой системе координат с центром в начале координат $O(0,0,0)$. Его 6 вершин расположены на осях координат на одинаковом расстоянии $L$ от центра. Координаты вершин: $A(L, 0, 0)$, $C(-L, 0, 0)$, $B(0, L, 0)$, $D(0, -L, 0)$, $S(0, 0, L)$, $S'(0, 0, -L)$. Противоположными вершинами являются пары, расположенные на одной оси: $(A, C)$, $(B, D)$, $(S, S')$. Центр октаэдра $O$ является серединой отрезков, соединяющих противоположные вершины, например, $AC$, $BD$ и $SS'$. Грани октаэдра — это 8 равносторонних треугольников. Ребрами являются 12 отрезков, соединяющих соседние (не противоположные) вершины. Длина ребра $a$ постоянна. Например, для ребра $SA$: $a = |SA| = \sqrt{(L-0)^2 + (0-0)^2 + (0-L)^2} = \sqrt{L^2 + L^2} = L\sqrt{2}$.

а) противолежащие ребра параллельны;

Противолежащие ребра соединяют попарно противоположные вершины. Например, для ребра $SA$ противоположным будет ребро $CS'$, так как вершина $C$ противоположна $A$, а $S'$ противоположна $S$.

Рассмотрим четырехугольник $SASC'$. Его диагонали $SS'$ и $AC$ пересекаются в центре октаэдра $O$ и делятся им пополам. Четырехугольник, диагонали которого пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом. Следовательно, $SASC'$ — параллелограмм. В параллелограмме противолежащие стороны параллельны, поэтому $SA \parallel S'C$.

Аналогично можно доказать параллельность для любой другой пары противолежащих ребер. Например:

• Для ребер $SB$ и $DS'$ рассмотрим параллелограмм $SBSD'$.
• Для ребер «экватора», например $AB$ и $CD$, рассмотрим четырехугольник $ACBD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ также пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам, значит, $ACBD$ — параллелограмм, и $AB \parallel CD$.

Таким образом, все противолежащие ребра в правильном октаэдре параллельны.

Ответ: Доказано.

б) противолежащие грани параллельны;

Противолежащие грани проходят через попарно противоположные вершины. Например, для грани $F_1 = \triangle SAB$ противоположной будет грань $F_2 = \triangle S'CD$.

Для доказательства параллельности плоскостей, в которых лежат эти грани, достаточно показать, что две пересекающиеся прямые в одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым в другой.

В плоскости грани $\triangle SAB$ лежат ребра $SA$ и $SB$, пересекающиеся в точке $S$. В плоскости грани $\triangle S'CD$ лежат ребра $S'C$ и $S'D$, пересекающиеся в точке $S'$.

Из пункта а) мы знаем, что противолежащие ребра параллельны: $SA \parallel S'C$ $SB \parallel S'D$

Поскольку две пересекающиеся прямые ($SA$ и $SB$) в плоскости $(\triangle SAB)$ параллельны двум пересекающимся прямым ($S'C$ и $S'D$) в плоскости $(\triangle S'CD)$, то эти плоскости параллельны.

Этот же принцип применим к любой паре противолежащих граней.

Ответ: Доказано.

в) расстояния между противолежащими гранями равны;

Правильный октаэдр — это тело с высокой степенью симметрии. Существует вращение (изометрия), переводящее любую грань октаэдра в любую другую.

Пусть $(F_1, F'_1)$ и $(F_2, F'_2)$ — две произвольные пары противолежащих граней. Поскольку все грани октаэдра одинаковы, существует такое вращение $R$ вокруг центра октаэдра, которое переводит грань $F_1$ в грань $F_2$, то есть $R(F_1) = F_2$.

Противоположная грань $F'_1$ является образом грани $F_1$ при центральной симметрии относительно центра октаэдра $O$. Вращение $R$ является линейным преобразованием, сохраняющим центр ($R(O)=O$), поэтому оно коммутирует с центральной симметрией. Это означает, что образ противоположной грани $F'_1$ будет противоположен образу грани $F_1$: $R(F'_1) = F'_2$.

Таким образом, вращение $R$ переводит пару параллельных плоскостей $(F_1, F'_1)$ в пару параллельных плоскостей $(F_2, F'_2)$. Вращение является изометрией, то есть сохраняет расстояния. Следовательно, расстояние между плоскостями $F_1$ и $F'_1$ равно расстоянию между плоскостями $F_2$ и $F'_2$: $d(F_1, F'_1) = d(R(F_1), R(F'_1)) = d(F_2, F'_2)$.

Это доказывает, что расстояния между всеми парами противолежащих граней равны.

Для примера, найдем это расстояние. Плоскость грани $SAB$ ($S(0,0,L), A(L,0,0), B(0,L,0)$) имеет уравнение $x+y+z-L=0$. Плоскость противоположной грани $S'CD$ ($S'(0,0,-L), C(-L,0,0), D(0,-L,0)$) имеет уравнение $x+y+z+L=0$. Расстояние между этими параллельными плоскостями: $d = \frac{|-L - L|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{2L}{\sqrt{3}}$. Так как $a = L\sqrt{2}$, то $L = a/\sqrt{2}$, и расстояние $d = \frac{2(a/\sqrt{2})}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{3}} = a\sqrt{\frac{2}{3}}$. Это постоянная величина для данного октаэдра.

Ответ: Доказано.

г) периметр сечения, параллельного грани, — величина постоянная.

Возьмем грань $\triangle SAB$. Плоскость этой грани задается уравнением $x+y+z=L$. Любая параллельная ей плоскость имеет уравнение $x+y+z=c$, где $c$ — некоторая константа.

Чтобы плоскость пересекала октаэдр, значение $c$ должно лежать в диапазоне значений функции $f(x,y,z)=x+y+z$ на вершинах октаэдра. $f(S)=L, f(A)=L, f(B)=L$ $f(C)=-L, f(D)=-L, f(S')=-L$ Следовательно, сечение существует при $-L \leq c \leq L$.

При $c=L$ сечением является сама грань $\triangle SAB$. Ее периметр равен $3a$. При $c=-L$ сечением является противоположная грань $\triangle S'CD$. Ее периметр также равен $3a$.

Рассмотрим случай, когда $-L < c < L$. Плоскость $x+y+z=c$ разделяет вершины октаэдра на две группы: $\{S, A, B\}$ и $\{C, D, S'\}$. Сечение будет проходить по ребрам, соединяющим вершины из разных групп. Таких ребер 6: $BC, DA, SC, SD, S'A, S'B$. Следовательно, сечение представляет собой шестиугольник.

Найдем длины сторон этого шестиугольника. Вершины шестиугольника — это точки пересечения плоскости $x+y+z=c$ с указанными ребрами.

Найдем координаты двух соседних вершин шестиугольника, например, на грани $SBC$. Это точки пересечения с ребрами $BC$ и $SC$. Точка на ребре $BC$ (от $B(0,L,0)$ к $C(-L,0,0)$): $P_{BC} = (-\frac{L-c}{2}, \frac{L+c}{2}, 0)$. Точка на ребре $SC$ (от $S(0,0,L)$ к $C(-L,0,0)$): $P_{SC} = (-\frac{L-c}{2}, 0, \frac{L+c}{2})$. Длина стороны сечения $|P_{BC}P_{SC}| = \sqrt{0^2 + (-\frac{L+c}{2})^2 + (\frac{L+c}{2})^2} = \sqrt{\frac{2(L+c)^2}{4}} = \frac{L+c}{\sqrt{2}}$.

Теперь найдем длину следующей стороны, на грани $SCD$. Это отрезок между точками на $SC$ и $SD$. Точка на ребре $SD$ (от $S(0,0,L)$ к $D(0,-L,0)$): $P_{SD} = (0, -\frac{L-c}{2}, \frac{L+c}{2})$. Длина стороны сечения $|P_{SC}P_{SD}| = \sqrt{(\frac{L-c}{2})^2 + (-\frac{L-c}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{2(L-c)^2}{4}} = \frac{L-c}{\sqrt{2}}$.

Продолжая вычисления для всех 6 сторон шестиугольника, мы обнаружим, что длины сторон поочередно равны $\frac{L+c}{\sqrt{2}}$ и $\frac{L-c}{\sqrt{2}}$. В шестиугольнике будет 3 стороны одной длины и 3 стороны другой.

Периметр сечения $P_{sec}$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{sec} = 3 \cdot \frac{L+c}{\sqrt{2}} + 3 \cdot \frac{L-c}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} (L+c+L-c) = \frac{3 \cdot 2L}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}L$.

Вспомним, что длина ребра октаэдра $a=L\sqrt{2}$. Подставим $L\sqrt{2}=a$ в выражение для периметра: $P_{sec} = 3(L\sqrt{2}) = 3a$.

Периметр сечения равен $3a$ и не зависит от параметра $c$, то есть от положения секущей плоскости. Таким образом, периметр сечения, параллельного грани, является величиной постоянной.

Ответ: Доказано.