Номер 372, страница 117 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

372. Ребро правильного октаэдра равно $a$. Найдите расстояние между:

а) двумя его противолежащими вершинами;

б) центрами двух смежных граней;

в) противолежащими гранями.

Правильный октаэдр — это многогранник, состоящий из восьми граней, которые являются равносторонними треугольниками. Его можно представить как две правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Все 12 ребер октаэдра имеют одинаковую длину $a$.

Для решения задачи удобно ввести систему координат. Пусть центр октаэдра находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Тогда его 6 вершин можно расположить на осях координат симметрично относительно центра:

$V_1 = (k, 0, 0)$, $V_2 = (-k, 0, 0)$,
$V_3 = (0, k, 0)$, $V_4 = (0, -k, 0)$,
$V_5 = (0, 0, k)$, $V_6 = (0, 0, -k)$.

Найдем значение параметра $k$. Ребро октаэдра — это отрезок, соединяющий две любые соседние вершины, например, $V_1$ и $V_5$. Длина ребра по условию равна $a$. Используем формулу расстояния между двумя точками:

$a^2 = d(V_1, V_5)^2 = (k-0)^2 + (0-0)^2 + (0-k)^2 = k^2 + k^2 = 2k^2$.

Отсюда $k^2 = a^2/2$, и положительное значение $k = a/\sqrt{2}$.

Таким образом, координаты вершин октаэдра выражаются через длину ребра $a$:

$V_1 = (a/\sqrt{2}, 0, 0)$, $V_2 = (-a/\sqrt{2}, 0, 0)$,
$V_3 = (0, a/\sqrt{2}, 0)$, $V_4 = (0, -a/\sqrt{2}, 0)$,
$V_5 = (0, 0, a/\sqrt{2})$, $V_6 = (0, 0, -a/\sqrt{2})$.

а) двумя его противолежащими вершинами;

Противолежащие вершины — это пары вершин, симметричных относительно центра октаэдра. Например, таковыми являются вершины $V_5$ и $V_6$, лежащие на оси $Oz$. Найдем расстояние между ними:

$d(V_5, V_6) = \sqrt{(0-0)^2 + (0-0)^2 + (a/\sqrt{2} - (-a/\sqrt{2}))^2} = \sqrt{(2a/\sqrt{2})^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2} = a\sqrt{2}$.

Это расстояние также называется большой диагональю октаэдра. Расстояние между любой другой парой противолежащих вершин (например, $V_1$ и $V_2$) будет таким же.

Ответ: $a\sqrt{2}$.

б) центрами двух смежных граней;

Смежные грани — это грани, имеющие общее ребро. Возьмем две смежные грани, например, грань $F_1$, образованную вершинами $V_1, V_3, V_5$, и грань $F_2$, образованную вершинами $V_2, V_3, V_5$. Эти грани имеют общее ребро $V_3V_5$.

Центр грани (которая является равносторонним треугольником) — это ее центроид, точка пересечения медиан. Координаты центроида вычисляются как среднее арифметическое координат вершин.

Найдем координаты центра $C_1$ грани $F_1(V_1, V_3, V_5)$:

$C_1 = \left( \frac{a/\sqrt{2}+0+0}{3}, \frac{0+a/\sqrt{2}+0}{3}, \frac{0+0+a/\sqrt{2}}{3} \right) = \left( \frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}} \right)$.

Найдем координаты центра $C_2$ грани $F_2(V_2, V_3, V_5)$:

$C_2 = \left( \frac{-a/\sqrt{2}+0+0}{3}, \frac{0+a/\sqrt{2}+0}{3}, \frac{0+0+a/\sqrt{2}}{3} \right) = \left( -\frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}}, \frac{a}{3\sqrt{2}} \right)$.

Теперь вычислим расстояние между центрами $C_1$ и $C_2$:

$d(C_1, C_2) = \sqrt{ \left( \frac{a}{3\sqrt{2}} - \left(-\frac{a}{3\sqrt{2}}\right) \right)^2 + \left( \frac{a}{3\sqrt{2}} - \frac{a}{3\sqrt{2}} \right)^2 + \left( \frac{a}{3\sqrt{2}} - \frac{a}{3\sqrt{2}} \right)^2 }$

$d(C_1, C_2) = \sqrt{ \left( \frac{2a}{3\sqrt{2}} \right)^2 + 0^2 + 0^2 } = \frac{2a}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot a \cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{2}}{3}$.

в) противолежащими гранями.

Противолежащие грани октаэдра параллельны друг другу. Возьмем грань $F_1$ с вершинами $V_1, V_3, V_5$. Противолежащая ей грань $F_2$ образована вершинами, противолежащими $V_1, V_3, V_5$ соответственно. Это вершины $V_2, V_4, V_6$.

Грань 1 ($F_1$): $V_1(a/\sqrt{2}, 0, 0)$, $V_3(0, a/\sqrt{2}, 0)$, $V_5(0, 0, a/\sqrt{2})$.

Грань 2 ($F_2$): $V_2(-a/\sqrt{2}, 0, 0)$, $V_4(0, -a/\sqrt{2}, 0)$, $V_6(0, 0, -a/\sqrt{2})$.

Расстояние между противолежащими гранями равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых они лежат. Найдем уравнения этих плоскостей. Используя уравнение плоскости в отрезках на осях $\frac{x}{x_0} + \frac{y}{y_0} + \frac{z}{z_0} = 1$:

Для грани $F_1$ отрезки на осях равны $k=a/\sqrt{2}$. Уравнение плоскости:

$\frac{x}{a/\sqrt{2}} + \frac{y}{a/\sqrt{2}} + \frac{z}{a/\sqrt{2}} = 1 \implies x+y+z = a/\sqrt{2}$.

В общем виде: $x+y+z - a/\sqrt{2} = 0$.

Для грани $F_2$ отрезки на осях равны $-k=-a/\sqrt{2}$. Уравнение плоскости:

$\frac{x}{-a/\sqrt{2}} + \frac{y}{-a/\sqrt{2}} + \frac{z}{-a/\sqrt{2}} = 1 \implies x+y+z = -a/\sqrt{2}$.

В общем виде: $x+y+z + a/\sqrt{2} = 0$.

Расстояние между двумя параллельными плоскостями $Ax+By+Cz+D_1=0$ и $Ax+By+Cz+D_2=0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|D_1 - D_2|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

В нашем случае $A=1, B=1, C=1$, $D_1 = -a/\sqrt{2}$, $D_2 = a/\sqrt{2}$.

$d = \frac{|-a/\sqrt{2} - a/\sqrt{2}|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|-2a/\sqrt{2}|}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{a\sqrt{6}}{3}$.