Номер 366, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

366. Концы диагоналей $D_1A$, $D_1C$ и $D_1B_1$ граней куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ соединены отрезками. Докажите, что многогранник $D_1ABB_1$ — правильный тетраэдр, и найдите отношение площадей поверхности куба и тетраэдра.

Докажите, что многогранник $D_1ACB_1$ — правильный тетраэдр

Пусть ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $a$. Вершинами многогранника являются точки $D_1, A, C, B_1$. Правильный тетраэдр — это тетраэдр, у которого все грани являются равносторонними треугольниками. Это равносильно тому, что все шесть ребер тетраэдра равны по длине. Ребрами данного многогранника являются отрезки $D_1A, D_1C, D_1B_1, AC, AB_1, CB_1$. Каждый из этих отрезков является диагональю одной из граней куба. Найдем длину диагонали грани куба. Все грани куба — это квадраты со стороной $a$. По теореме Пифагора длина диагонали грани (например, $AC$ в грани $ABCD$) равна:$d = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$. Все шесть ребер многогранника $D_1ACB_1$ являются диагоналями граней куба, следовательно, все они имеют одинаковую длину, равную $a\sqrt{2}$. Поскольку все ребра тетраэдра $D_1ACB_1$ равны, то все его четыре грани ($\triangle D_1AC, \triangle D_1AB_1, \triangle D_1CB_1$ и $\triangle ACB_1$) являются равными равносторонними треугольниками. Следовательно, многогранник $D_1ACB_1$ является правильным тетраэдром.

Ответ: Многогранник $D_1ACB_1$ является правильным тетраэдром, что и требовалось доказать.

Найдите отношение площадей поверхности куба и тетраэдра

Сначала найдем площадь полной поверхности куба ($S_{куба}$), а затем площадь полной поверхности вписанного в него тетраэдра ($S_{тетраэдра}$).

1. Площадь поверхности куба. Куб имеет 6 граней, каждая из которых — квадрат со стороной $a$. Площадь одной грани равна $a^2$. Таким образом, полная площадь поверхности куба:$S_{куба} = 6 \cdot a^2 = 6a^2$.

2. Площадь поверхности тетраэдра. Как мы доказали, тетраэдр $D_1ACB_1$ является правильным. Он имеет 4 грани, каждая из которых — равносторонний треугольник со стороной $l=a\sqrt{2}$. Площадь равностороннего треугольника со стороной $l$ вычисляется по формуле: $S_{\triangle} = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$. Подставим значение длины стороны $l$:$S_{\triangle} = \frac{(a\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Полная площадь поверхности тетраэдра — это сумма площадей его четырех граней:$S_{тетраэдра} = 4 \cdot S_{\triangle} = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 2a^2\sqrt{3}$.

3. Отношение площадей. Теперь найдем отношение площади поверхности куба к площади поверхности тетраэдра:$\frac{S_{куба}}{S_{тетраэдра}} = \frac{6a^2}{2a^2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:$\frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.