Номер 368, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

368. Найдите двугранный угол:

а) правильного тетраэдра;

б) правильного октаэдра.

а) правильного тетраэдра

Правильный тетраэдр — это многогранник, все грани которого являются равными равносторонними треугольниками. Двугранный угол правильного тетраэдра — это угол между любыми двумя его смежными гранями.

Пусть дан правильный тетраэдр $DABC$ с длиной ребра $a$. Найдем двугранный угол при ребре $BC$. Этот угол равен углу между плоскостями граней $(ABC)$ и $(DBC)$.

Для измерения двугранного угла построим его линейный угол. Для этого в гранях $(ABC)$ и $(DBC)$ проведем высоты к общему ребру $BC$.

1. В равностороннем треугольнике $ABC$ проведем высоту (она же медиана и биссектриса) $AM$ к стороне $BC$. Так как $AM$ — высота, $AM \perp BC$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. В равностороннем треугольнике $DBC$ проведем высоту $DM$ к стороне $BC$. Так как треугольники $ABC$ и $DBC$ равны, точка $M$ является серединой $BC$, и $DM \perp BC$. Длина высоты $DM$ также равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

По определению, угол $\angle DMA$ является линейным углом двугранного угла между гранями $(ABC)$ и $(DBC)$. Найдем величину этого угла из треугольника $DMA$.

В треугольнике $DMA$ известны все три стороны:

• $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
• $DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
• $DA = a$ (ребро тетраэдра)

Применим к треугольнику $DMA$ теорему косинусов для нахождения угла $\angle DMA$ (обозначим его $\alpha$):

$DA^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\alpha)$

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Следовательно, искомый двугранный угол $\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $ \arccos\left(\frac{1}{3}\right) $.

б) правильного октаэдра

Правильный октаэдр — это многогранник, составленный из восьми равносторонних треугольников. Все его ребра имеют одинаковую длину. Двугранный угол правильного октаэдра — это угол между любыми двумя его смежными гранями.

Представим октаэдр как две правильные четырехугольные пирамиды $EABCD$ и $FABCD$, соединенные общим основанием — квадратом $ABCD$. Все ребра октаэдра, включая стороны основания $ABCD$ и боковые ребра пирамид, равны $a$.

Найдем двугранный угол между смежными гранями, например, между гранями $(EAB)$ и $(EBC)$. Общим ребром для этих граней является $EB$.

Построим линейный угол этого двугранного угла. Для этого проведем высоты к общему ребру $EB$ в каждой из граней.

1. Грань $EAB$ — равносторонний треугольник со стороной $a$. Проведем в нем высоту (и медиану) $AM$ к стороне $EB$. Тогда $AM \perp EB$, и ее длина $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

2. Грань $EBC$ — также равносторонний треугольник со стороной $a$. Проведем в нем высоту $CM$ к стороне $EB$. Точка $M$ будет серединой $EB$, так что $CM \perp EB$, и ее длина $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Угол $\angle AMC$ является линейным углом искомого двугранного угла. Найдем его величину из треугольника $AMC$.

В треугольнике $AMC$ известны стороны $AM$ и $CM$. Найдем длину стороны $AC$. Вершины $A, B, C, D$ образуют квадрат со стороной $a$. Отрезок $AC$ является диагональю этого квадрата, следовательно, его длина равна $AC = a\sqrt{2}$.

Итак, в треугольнике $AMC$ известны все три стороны:

• $AM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
• $CM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
• $AC = a\sqrt{2}$

Применим к треугольнику $AMC$ теорему косинусов для нахождения угла $\angle AMC$ (обозначим его $\beta$):

$AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(\beta)$

Подставим известные значения:

$(a\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\beta)$

$2a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\beta)$

$2a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\beta)$

$2a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\beta)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$:

$2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\beta)$

$\frac{3}{2} \cos(\beta) = \frac{3}{2} - 2$

$\frac{3}{2} \cos(\beta) = -\frac{1}{2}$

$\cos(\beta) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$

Следовательно, искомый двугранный угол $\beta = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $ \arccos\left(-\frac{1}{3}\right) $.