Номер 364, страница 116 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

364. Укажите, сколько плоскостей симметрии имеет:

а) четырехугольная призма;

б) правильная шестиугольная призма;

в) треугольная пирамида;

г) правильный тетраэдр;

д) куб;

е) правильный октаэдр;

ж) правильный додекаэдр;

з) правильный икосаэдр.

а) четырехугольная призма;

Количество плоскостей симметрии четырехугольной призмы зависит от формы ее основания и от того, является ли она прямой или наклонной. В общем случае у наклонной призмы с произвольным четырехугольником в основании плоскостей симметрии нет.

Рассмотрим прямую призму (боковые ребра перпендикулярны основаниям).

• Если основание – произвольный четырехугольник без осей симметрии, то призма будет иметь 1 плоскость симметрии, которая параллельна основаниям и проходит через середину высоты.
• Если основание – прямоугольник (не квадрат), то призма является прямоугольным параллелепипедом. У него есть 1 плоскость симметрии, параллельная основаниям, и 2 плоскости, перпендикулярные основаниям и проходящие через оси симметрии прямоугольника. Итого: $1 + 2 = 3$ плоскости симметрии.
• Если основание – квадрат, то это правильная четырехугольная призма. У нее есть 1 плоскость симметрии, параллельная основаниям, и 4 плоскости, проходящие через 4 оси симметрии квадрата. Итого: $1 + 4 = 5$ плоскостей симметрии.

Так как в задании отдельно упомянут куб (частный случай правильной четырехугольной призмы) и правильная шестиугольная призма, наиболее вероятным вариантом для данного пункта является прямоугольный параллелепипед (не куб).

Ответ: 3 (для прямоугольного параллелепипеда).

б) правильная шестиугольная призма;

Правильная шестиугольная призма – это прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник.

1. Одна плоскость симметрии проходит посередине между основаниями, параллельно им.
2. Остальные плоскости симметрии перпендикулярны основаниям и проходят через оси симметрии правильного шестиугольника. У правильного шестиугольника 6 осей симметрии: 3 проходят через противоположные вершины и 3 – через середины противоположных сторон.

Таким образом, общее количество плоскостей симметрии равно $1 + 6 = 7$.

Ответ: 7.

в) треугольная пирамида;

В общем случае, когда основанием является произвольный треугольник, а вершина расположена произвольно, треугольная пирамида не имеет плоскостей симметрии. Плоскости симметрии появляются только при наличии определенных условий (например, если пирамида является правильной).

Ответ: 0.

г) правильный тетраэдр;

Правильный тетраэдр – это многогранник, все четыре грани которого являются равносторонними треугольниками. Плоскость симметрии правильного тетраэдра проходит через любое его ребро и середину противоположного ему ребра. Так как у тетраэдра 6 ребер, то он имеет 6 плоскостей симметрии.

Ответ: 6.

д) куб;

Куб имеет два типа плоскостей симметрии:

1. 3 плоскости, каждая из которых проходит через середины четырех параллельных ребер (параллельно граням).
2. 6 диагональных плоскостей, каждая из которых проходит через два противоположных ребра.

Всего у куба $3 + 6 = 9$ плоскостей симметрии.

Ответ: 9.

е) правильный октаэдр;

Правильный октаэдр является двойственным многогранником к кубу, поэтому он имеет такое же количество элементов симметрии. У правильного октаэдра 9 плоскостей симметрии. Их можно описать следующим образом, если расположить вершины октаэдра на осях координат $(\pm a, 0, 0), (0, \pm a, 0), (0, 0, \pm a)$:

1. 3 плоскости симметрии совпадают с координатными плоскостями ($xy, yz, xz$).
2. 6 плоскостей симметрии проходят через начало координат и биссектрисы углов между осями (плоскости вида $y = x$, $y = -x$ и т.д.).

Всего $3 + 6 = 9$ плоскостей симметрии.

Ответ: 9.

ж) правильный додекаэдр;

Правильный додекаэдр – многогранник, составленный из двенадцати правильных пятиугольников. У него 30 ребер. Плоскости симметрии додекаэдра проходят через центры противоположных ребер. Так как ребер 30, то пар противоположных ребер 15. Каждая такая пара определяет одну плоскость симметрии.

Ответ: 15.

з) правильный икосаэдр.

Правильный икосаэдр – многогранник, составленный из двадцати правильных треугольников. Он является двойственным к додекаэдру и, следовательно, имеет такое же число плоскостей симметрии. Каждая плоскость симметрии икосаэдра проходит через пару противоположных параллельных ребер. Всего у икосаэдра 30 ребер, которые образуют 15 пар противоположных.

Ответ: 15.