Номер 358, страница 115 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

358. Ребро куба равно $a$. Найдите радиус шара:

а) вписанного в куб;

б) описанного около куба.

а) вписанного в куб

Шар, вписанный в куб, касается всех шести граней куба. Это означает, что расстояние между двумя противоположными гранями куба равно диаметру вписанного шара.

По условию, ребро куба равно $a$. Расстояние между противоположными гранями куба как раз и равно длине его ребра.

Пусть $d_{вп}$ — диаметр вписанного шара, а $r_{вп}$ — его радиус. Тогда:

$d_{вп} = a$

Радиус шара равен половине его диаметра, следовательно:

$r_{вп} = \frac{d_{вп}}{2} = \frac{a}{2}$

Ответ: $\frac{a}{2}$.

б) описанного около куба

Шар, описанный около куба, проходит через все восемь вершин куба. Это означает, что диаметр описанного шара равен главной диагонали куба (отрезку, соединяющему две противоположные вершины).

Найдем длину главной диагонали куба $D$. Для этого сначала найдем длину диагонали грани куба $d_{грани}$. Грань куба — это квадрат со стороной $a$. По теореме Пифагора:

$d_{грани}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$d_{грани} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, катетами которого являются ребро куба $a$ и диагональ грани $d_{грани}$, а гипотенузой — главная диагональ куба $D$. Снова применим теорему Пифагора:

$D^2 = a^2 + (d_{грани})^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

$D = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Диаметр описанного шара $d_{оп}$ равен главной диагонали куба $D$. Пусть $R_{оп}$ — радиус описанного шара. Радиус равен половине диаметра:

$R_{оп} = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.