Номер 353, страница 114 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

353*. Докажите, что у трехгранного угла пересекаются по одной прямой три его:

а) биссекторные плоскости двугранных углов;

б) плоскости, каждая из которых проходит через биссектрису плоского угла и перпендикулярна его плоскости;

в) плоскости, каждая из которых проходит через ребро и биссектрису противолежащего плоского угла;

г) плоскости, каждая из которых проходит через ребро и перпендикулярна противолежащей грани.

а) биссекторные плоскости двугранных углов;

Рассмотрим трехгранный угол с вершиной $S$ и ребрами, образующими грани (плоскости) $\alpha, \beta, \gamma$. Пусть эти грани образуют три двугранных угла при ребрах, являющихся их линиями пересечения.

Биссекторная плоскость двугранного угла — это геометрическое место точек пространства, равноудаленных от двух граней, образующих этот угол.

Пусть $\Pi_1$ — биссекторная плоскость двугранного угла, образованного гранями $\alpha$ и $\beta$. Для любой точки $M \in \Pi_1$ расстояние до этих граней одинаково: $d(M, \alpha) = d(M, \beta)$.

Пусть $\Pi_2$ — биссекторная плоскость угла между гранями $\beta$ и $\gamma$. Для любой точки $M \in \Pi_2$ выполняется $d(M, \beta) = d(M, \gamma)$.

Пусть $\Pi_3$ — биссекторная плоскость угла между гранями $\gamma$ и $\alpha$. Для любой точки $M \in \Pi_3$ выполняется $d(M, \gamma) = d(M, \alpha)$.

Все три плоскости $\Pi_1, \Pi_2, \Pi_3$ проходят через вершину трехгранного угла $S$, так как расстояние от точки $S$ до любой грани равно нулю, и, следовательно, $S$ принадлежит всем трем биссекторным плоскостям.

Рассмотрим пересечение двух биссекторных плоскостей, например $\Pi_1$ и $\Pi_2$. Поскольку они обе проходят через точку $S$ и не совпадают (для невырожденного трехгранного угла), они пересекаются по некоторой прямой $l$, проходящей через $S$.

Возьмем произвольную точку $K$ на прямой $l = \Pi_1 \cap \Pi_2$. Так как $K$ принадлежит обеим плоскостям, для нее одновременно выполняются два условия:

1. $K \in \Pi_1 \implies d(K, \alpha) = d(K, \beta)$
2. $K \in \Pi_2 \implies d(K, \beta) = d(K, \gamma)$

Из этих двух равенств следует, что $d(K, \alpha) = d(K, \gamma)$. Это равенство является определением для точек, принадлежащих третьей биссекторной плоскости, $\Pi_3$. Следовательно, точка $K$ принадлежит плоскости $\Pi_3$.

Поскольку $K$ — произвольная точка на прямой $l$, то вся прямая $l$ лежит в плоскости $\Pi_3$. Таким образом, все три биссекторные плоскости пересекаются по одной прямой $l$. Эта прямая является осью конуса, вписанного в данный трехгранный угол.

Ответ: Доказано.

б) плоскости, каждая из которых проходит через биссектрису плоского угла и перпендикулярна его плоскости;

Для доказательства этого и последующих пунктов воспользуемся методом сферического представления. Пересечем трехгранный угол с вершиной $S$ сферой с центром в точке $S$ и произвольным радиусом $R$. В сечении получится сферический треугольник $ABC$, вершины которого — это точки пересечения ребер трехгранного угла со сферой.

• Ребрам трехгранного угла ($SA, SB, SC$) соответствуют вершины сферического треугольника ($A, B, C$).
• Плоским углам трехгранного угла ($\angle ASB, \angle BSC, \angle CSA$) соответствуют стороны сферического треугольника (дуги больших кругов $AB, BC, CA$). Длины этих дуг равны величинам соответствующих плоских углов в радианах.
• Плоскостям граней трехгранного угла соответствуют плоскости больших кругов, содержащих стороны сферического треугольника.

Рассмотрим одну из заданных плоскостей, например, ту, что проходит через биссектрису плоского угла $\angle ASB$ и перпендикулярна его плоскости $(SAB)$.

Биссектриса угла $\angle ASB$ на сфере соответствует точке, делящей сторону (дугу) $AB$ сферического треугольника пополам. Плоскость, проходящая через эту биссектрису, на сфере будет соответствовать большому кругу, проходящему через середину дуги $AB$.

Условие, что плоскость перпендикулярна плоскости $(SAB)$, означает, что соответствующий ей большой круг на сфере будет перпендикулярен большому кругу, содержащему сторону $AB$.

Таким образом, каждая из трех заданных в условии плоскостей соответствует на сфере большому кругу, который проходит через середину стороны сферического треугольника и перпендикулярен ей. Такой большой круг называется серединным перпендикуляром (или медиатрисой) стороны сферического треугольника.

В сферической геометрии известно, что три серединных перпендикуляра к сторонам сферического треугольника пересекаются в одной точке — центре окружности, описанной около этого треугольника.

Поскольку три соответствующих больших круга на сфере пересекаются в одной точке $P$, то и три исходные плоскости, проходящие через центр сферы $S$, должны пересекаться по одной прямой $SP$.

Ответ: Доказано.

в) плоскости, каждая из которых проходит через ребро и биссектрису противолежащего плоского угла;

Воспользуемся той же моделью сферического треугольника $ABC$, полученного пересечением трехгранного угла со сферой с центром в вершине $S$.

Рассмотрим плоскость, проходящую через ребро $SA$ и биссектрису противолежащего плоского угла $\angle BSC$.

Ребру $SA$ на сфере соответствует вершина $A$ сферического треугольника. Противолежащий плоский угол $\angle BSC$ соответствует стороне $BC$ сферического треугольника. Биссектриса этого угла пересекает дугу $BC$ в ее середине.

Следовательно, рассматриваемая плоскость соответствует на сфере большому кругу, который проходит через вершину $A$ и середину противолежащей стороны $BC$. Такой большой круг является медианой сферического треугольника.

Аналогично, две другие плоскости (проходящая через ребро $SB$ и биссектрису $\angle ASC$, и проходящая через ребро $SC$ и биссектрису $\angle ASB$) будут соответствовать двум другим медианам сферического треугольника $ABC$.

В сферической геометрии известно, что три медианы сферического треугольника пересекаются в одной точке — центроиде треугольника.

Так как три медианы (как дуги больших кругов) пересекаются в одной точке на сфере, то соответствующие им три плоскости, проходящие через центр сферы $S$, пересекаются по одной прямой, проходящей через $S$ и эту точку пересечения.

Ответ: Доказано.

г) плоскости, каждая из которых проходит через ребро и перпендикулярна противолежащей грани.

Снова используем модель сферического треугольника $ABC$ на сфере с центром в вершине $S$.

Рассмотрим плоскость, которая проходит через ребро $SA$ и перпендикулярна противолежащей грани $(SBC)$.

Ребру $SA$ на сфере соответствует вершина $A$ сферического треугольника. Противолежащая грань $(SBC)$ соответствует плоскости большого круга, содержащего сторону $BC$ сферического треугольника.

Условие, что искомая плоскость перпендикулярна грани $(SBC)$, означает, что соответствующий ей большой круг на сфере перпендикулярен большому кругу, содержащему сторону $BC$.

Таким образом, рассматриваемая плоскость соответствует на сфере большому кругу, который проходит через вершину $A$ и перпендикулярен противолежащей стороне $BC$. Такой большой круг является высотой сферического треугольника, опущенной из вершины $A$.

Аналогично, две другие плоскости (проходящая через ребро $SB$ и перпендикулярная грани $(SAC)$, и проходящая через ребро $SC$ и перпендикулярная грани $(SAB)$) будут соответствовать двум другим высотам сферического треугольника $ABC$.

В сферической геометрии известно, что три высоты сферического треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке — ортоцентре треугольника.

Поскольку три высоты (как дуги больших кругов) пересекаются в одной точке на сфере, то и три исходные плоскости, проходящие через центр сферы $S$, должны пересекаться по одной прямой, проходящей через $S$ и эту точку пересечения.

Ответ: Доказано.