Номер 8, страница 113 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

8. Какому условию удовлетворяет количество ребер, сходящихся в вершине правильного многогранника; количество сторон грани правильного многогранника?

Для ответа на этот вопрос введем следующие обозначения:

• Пусть $n$ — это количество сторон грани правильного многогранника. Так как грань является многоугольником, $n$ должно быть целым числом, и $n \ge 3$.
• Пусть $k$ — это количество ребер (а также граней), сходящихся в каждой вершине правильного многогранника. Для образования пространственной фигуры в одной вершине должно сходиться не менее трех ребер, поэтому $k$ — целое число, и $k \ge 3$.

Основное свойство любого выпуклого многогранника заключается в том, что сумма плоских углов всех граней, сходящихся в одной вершине, должна быть меньше $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Если бы эта сумма равнялась $360^\circ$, то грани образовывали бы плоскую поверхность.

Гранью правильного многогранника является правильный $n$-угольник. Величина каждого внутреннего угла такого многоугольника, обозначим его $\alpha$, вычисляется по формуле:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

В каждой вершине многогранника сходятся $k$ граней. Сумма углов при вершине равна произведению количества граней на величину угла каждой грани:

Сумма углов = $k \cdot \alpha = k \cdot \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Согласно основному свойству, эта сумма должна быть меньше $360^\circ$:

$k \cdot \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} < 360^\circ$

Разделим обе части неравенства на $180^\circ$:

$k \cdot \frac{n-2}{n} < 2$

Преобразуем это неравенство, чтобы найти связь между $k$ и $n$:

$k(n-2) < 2n$

$kn - 2k < 2n$

$kn - 2k - 2n < 0$

Чтобы разложить выражение на множители, прибавим 4 к обеим частям:

$kn - 2k - 2n + 4 < 4$

$k(n-2) - 2(n-2) < 4$

$(k-2)(n-2) < 4$

Это и есть основное условие, связывающее количество сторон грани ($n$) и количество ребер, сходящихся в вершине ($k$). Теперь можно дать точные ответы на части вопроса.

Это количество, обозначенное как $k$, должно быть целым числом не меньше 3. Оно не может быть произвольным, так как связано с типом граней (количеством их сторон $n$). Условие, связывающее эти величины, было выведено из требования к сумме углов при вершине.

Ответ: Количество ребер $k$, сходящихся в вершине, должно быть целым числом, $k \ge 3$, и удовлетворять неравенству $(k-2)(n-2) < 4$, где $n$ — количество сторон грани ($n \ge 3$).

Это количество, обозначенное как $n$, должно быть целым числом не меньше 3. Оно также не может быть произвольным и зависит от того, сколько граней сходится в каждой вершине (количества ребер $k$).

Ответ: Количество сторон грани $n$ должно быть целым числом, $n \ge 3$, и удовлетворять неравенству $(k-2)(n-2) < 4$, где $k$ — количество ребер, сходящихся в вершине ($k \ge 3$).