Номер 4, страница 112 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Каким отношением связаны плоские углы многогранного угла?

Плоские углы выпуклого многогранного угла связаны двумя основными соотношениями, которые выражаются в виде неравенств. Важно отметить, что эти свойства справедливы для выпуклых многогранных углов, то есть таких, которые целиком лежат по одну сторону от плоскости каждой своей грани. Пусть многогранный угол имеет n плоских углов $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$.

1. Сумма плоских углов меньше 360°

Сумма всех плоских углов, образующих выпуклый многогранный угол, всегда строго меньше полного угла, то есть $360^\circ$ (или $2\pi$ радиан). Математически это записывается как:

$$\sum_{i=1}^{n} \alpha_i < 360^\circ$$

Объяснение: Представим, что мы пересекли многогранный угол с вершиной $S$ некоторой плоскостью. В сечении образуется выпуклый n-угольник. Сумма углов в n треугольниках, составляющих боковые грани полученной пирамиды, равна $n \cdot 180^\circ$. Эта общая сумма состоит из двух частей: суммы плоских углов при вершине $S$ (обозначим $\Sigma_S$) и суммы углов при основании (вершинах n-угольника). Сумма внутренних углов самого n-угольника равна $(n-2) \cdot 180^\circ$. Известно, что сумма углов при основании в треугольниках больше, чем сумма углов n-угольника. Из этого следует, что $\Sigma_S$ должна быть меньше разницы: $n \cdot 180^\circ - (n-2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$.

Ответ: Сумма всех плоских углов выпуклого многогранного угла всегда меньше $360^\circ$.

2. Каждый плоский угол меньше суммы всех остальных

Это соотношение является обобщением неравенства треугольника на случай многогранных углов. Оно гласит, что величина любого из плоских углов должна быть меньше, чем сумма величин всех остальных плоских углов.

Для любого угла $\alpha_k$ из набора справедливо:

$$\alpha_k < \sum_{i \neq k} \alpha_i$$

Объяснение: Это условие необходимо для того, чтобы из плоских углов можно было составить замкнутую пространственную фигуру многогранного угла. Если оно не выполняется для какого-либо угла, то при "сворачивании" граней этот угол окажется "больше" пространства, отведенного остальными углами, и они наложатся друг на друга. Наиболее наглядно это свойство иллюстрируется при помощи пересечения многогранного угла со сферой с центром в его вершине. В сечении образуется выпуклый сферический многоугольник. Длины его сторон (в угловой мере) в точности равны плоским углам многогранного угла. А для любого выпуклого многоугольника (в том числе сферического) справедливо, что любая его сторона короче суммы длин всех остальных сторон.

Ответ: Любой отдельный плоский угол выпуклого многогранного угла меньше суммы всех остальных его плоских углов.