Номер 348, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

348*. Из шарового сегмента вырезан конус, имеющий с ним общие основание и высоту. Найдите объем оставшейся части сегмента, учитывая, что дуга осевого сечения сегмента равна $\alpha$, а радиус дуги — $R$.

Для решения задачи найдем объем оставшейся части сегмента как разность объемов шарового сегмента ($V_{сегмента}$) и вписанного в него конуса ($V_{конуса}$), имеющих общее основание и высоту.

1. Определение параметров сегмента и конуса.

Рассмотрим осевое сечение шарового сегмента. Это сектор круга с радиусом $R$ (радиус шара) и центральным углом $\alpha$. Высота сегмента $h$ и радиус его основания $r$ являются также высотой и радиусом основания конуса.

Из геометрии осевого сечения, где $O$ — центр шара, можно выразить $h$ и $r$ через $R$ и $\alpha$. Пусть осевое сечение представляет собой дугу, стягиваемую хордой. Высота $h$ — это расстояние от середины дуги до хорды.

В равнобедренном треугольнике, образованном двумя радиусами $R$ и хордой, высота, проведенная к хорде, равна $R \cos(\frac{\alpha}{2})$. Высота сегмента $h$ тогда будет равна: $h = R - R \cos(\frac{\alpha}{2}) = R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$

Радиус основания сегмента $r$ (половина длины хорды) равен: $r = R \sin(\frac{\alpha}{2})$

2. Вычисление искомого объема.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле: $V_{сегмента} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3})$

Объем конуса вычисляется по формуле: $V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Объем оставшейся части $V$ равен разности этих объемов: $V = V_{сегмента} - V_{конуса} = \pi h^2 (R - \frac{h}{3}) - \frac{1}{3} \pi r^2 h$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}\pi h$ за скобки: $V = \frac{1}{3}\pi h (3h(R - \frac{h}{3}) - r^2) = \frac{1}{3}\pi h (3hR - h^2 - r^2)$

Теперь найдем связь между $r^2$, $h$ и $R$ из геометрии осевого сечения. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с гипотенузой $R$ и катетами $r$ и $(R-h)$: $R^2 = r^2 + (R-h)^2$ $R^2 = r^2 + R^2 - 2Rh + h^2$ $0 = r^2 - 2Rh + h^2$ Отсюда, $r^2 = 2Rh - h^2$.

Подставим это выражение для $r^2$ в формулу для объема $V$: $V = \frac{1}{3}\pi h (3hR - h^2 - (2Rh - h^2))$ $V = \frac{1}{3}\pi h (3hR - h^2 - 2Rh + h^2)$ $V = \frac{1}{3}\pi h (Rh) = \frac{1}{3}\pi R h^2$

Теперь подставим выражение для $h$ через $R$ и $\alpha$: $h = R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))$ $V = \frac{1}{3}\pi R \left(R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))\right)^2 = \frac{1}{3}\pi R \cdot R^2 (1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))^2$ $V = \frac{1}{3}\pi R^3 (1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))^2$

Используем формулу понижения степени (или формулу половинного угла): $1 - \cos(x) = 2\sin^2(\frac{x}{2})$. В нашем случае $x = \frac{\alpha}{2}$, поэтому: $1 - \cos(\frac{\alpha}{2}) = 2\sin^2(\frac{\alpha}{4})$

Подставим это в выражение для объема: $V = \frac{1}{3}\pi R^3 \left(2\sin^2(\frac{\alpha}{4})\right)^2 = \frac{1}{3}\pi R^3 \cdot 4\sin^4(\frac{\alpha}{4})$ $V = \frac{4}{3}\pi R^3 \sin^4(\frac{\alpha}{4})$

Ответ: $ \frac{4}{3} \pi R^3 \sin^4(\frac{\alpha}{4}) $