Номер 345, страница 107 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

345*. Докажите, что:

а) объем конуса равен третьей доле произведения его полной поверхности и радиуса вписанного шара;

б) если конусы описаны около шара, то их объемы пропорциональны площадям поверхностей.

а) объем конуса равен третьей доле произведения его полной поверхности и радиуса вписанного шара;

Обозначим радиус основания конуса как $R$, высоту как $H$ и образующую как $L$. Радиус вписанного в конус шара обозначим как $r_{вп}$.

Объем конуса $V$ и площадь его полной поверхности $S_{полн}$ вычисляются по формулам:
$V = \frac{1}{3} \pi R^2 H$
$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \pi R^2 + \pi R L = \pi R (R+L)$

Чтобы найти радиус вписанного шара $r_{вп}$, рассмотрим осевое сечение конуса. Это равнобедренный треугольник с основанием $2R$, высотой $H$ и боковыми сторонами, равными образующей $L$. Вписанный шар в осевом сечении представляет собой окружность, вписанную в этот треугольник, и ее радиус равен $r_{вп}$.

Радиус окружности, вписанной в треугольник, можно найти по формуле $r = \frac{S}{p}$, где $S$ — площадь треугольника, а $p$ — его полупериметр.
Площадь осевого сечения (треугольника): $S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot (2R) \cdot H = RH$.
Полупериметр треугольника: $p = \frac{2R + L + L}{2} = R + L$.
Следовательно, радиус вписанного шара: $r_{вп} = \frac{S_{\triangle}}{p} = \frac{RH}{R+L}$.

Теперь необходимо доказать равенство $V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r_{вп}$. Подставим в правую часть равенства выражения для $S_{полн}$ и $r_{вп}$:
$\frac{1}{3} S_{полн} \cdot r_{вп} = \frac{1}{3} \cdot [\pi R (R+L)] \cdot \left(\frac{RH}{R+L}\right)$

Сократим дробь на общий множитель $(R+L)$:
$\frac{1}{3} \pi R (R+L) \frac{RH}{R+L} = \frac{1}{3} \pi R \cdot RH = \frac{1}{3} \pi R^2 H$

Полученное выражение в точности совпадает с формулой объема конуса $V$. Таким образом, равенство $V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r_{вп}$ доказано.

Ответ: Доказано, что объем конуса равен третьей доле произведения его полной поверхности и радиуса вписанного шара.

б) если конусы описаны около шара, то их объемы пропорциональны площадям поверхностей.

Пусть даны два конуса, описанные около одного и того же шара. Это означает, что радиус вписанного шара для обоих конусов одинаков. Обозначим этот радиус как $r$.
Для первого конуса его объем равен $V_1$, а площадь полной поверхности — $S_{1}$.
Для второго конуса его объем равен $V_2$, а площадь полной поверхности — $S_{2}$.

В пункте а) мы доказали, что для любого конуса, описанного около шара, справедлива формула:
$V = \frac{1}{3} S_{полн} \cdot r_{вп}$

Применим эту формулу к обоим конусам, учитывая, что $r_{вп} = r$:
Для первого конуса: $V_1 = \frac{1}{3} S_{1} \cdot r$
Для второго конуса: $V_2 = \frac{1}{3} S_{2} \cdot r$

Из этих равенств выразим отношение объема к площади полной поверхности для каждого конуса:
$\frac{V_1}{S_{1}} = \frac{1}{3} r$
$\frac{V_2}{S_{2}} = \frac{1}{3} r$

Так как правые части этих равенств равны константе $\frac{1}{3} r$, то равны и левые:
$\frac{V_1}{S_{1}} = \frac{V_2}{S_{2}}$

Это соотношение по определению означает, что объемы конусов ($V$) пропорциональны площадям их полных поверхностей ($S$) с коэффициентом пропорциональности $k = \frac{1}{3}r$. Равенство можно также записать в виде $\frac{V_1}{V_2} = \frac{S_{1}}{S_{2}}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что если конусы описаны около одного и того же шара, то их объемы пропорциональны площадям их полных поверхностей.