Номер 338, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

338. Найдите поверхность и объем шара, описанного около пирамиды, основанием которой является:

а) прямоугольный треугольник с гипотенузой 2, и каждое боковое ребро составляет с основанием угол $\alpha$;

б) прямоугольник с диагональю 10, и боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под углом $\beta$.

а)

Обозначим радиус шара, описанного около пирамиды, через $R$. Поскольку все боковые ребра пирамиды составляют с плоскостью основания один и тот же угол $\alpha$, вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около многоугольника основания.

В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотенузой $c = 2$. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, является серединой его гипотенузы, а радиус этой окружности $r$ равен половине длины гипотенузы. $r = \frac{c}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $H$, радиусом описанной окружности основания $r$ и боковым ребром пирамиды. Угол между боковым ребром и его проекцией на основание (радиусом $r$) равен $\alpha$. Следовательно, мы можем выразить высоту пирамиды: $H = r \cdot \operatorname{tg} \alpha = 1 \cdot \operatorname{tg} \alpha = \operatorname{tg} \alpha$.

Центр описанного шара лежит на перпендикуляре к плоскости основания, проходящем через центр описанной окружности основания (то есть на прямой, содержащей высоту $H$). Радиус шара $R$ можно найти по формуле для пирамиды, у которой вершина проецируется в центр описанной окружности основания: $R = \frac{r^2 + H^2}{2H}$. Подставим найденные значения $r$ и $H$: $R = \frac{1^2 + (\operatorname{tg} \alpha)^2}{2 \operatorname{tg} \alpha} = \frac{1 + \operatorname{tg}^2 \alpha}{2 \operatorname{tg} \alpha}$.

Используя тригонометрические тождества $1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \sec^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ и $\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$, преобразуем выражение для $R$: $R = \frac{1/\cos^2 \alpha}{2 \sin \alpha / \cos \alpha} = \frac{1}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin(2\alpha)}$.

Теперь вычислим площадь поверхности $S$ и объем $V$ шара. Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$. $S = 4\pi \left(\frac{1}{\sin(2\alpha)}\right)^2 = \frac{4\pi}{\sin^2(2\alpha)}$.

Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{1}{\sin(2\alpha)}\right)^3 = \frac{4\pi}{3\sin^3(2\alpha)}$.

Ответ: $S = \frac{4\pi}{\sin^2(2\alpha)}$, $V = \frac{4\pi}{3\sin^3(2\alpha)}$.

б)

Аналогично пункту а), все боковые ребра пирамиды наклонены к основанию под одним и тем же углом $\beta$, поэтому вершина пирамиды проецируется в центр окружности, описанной около основания. В основании лежит прямоугольник с диагональю $d = 10$. Центром окружности, описанной около прямоугольника, является точка пересечения его диагоналей. Радиус этой окружности $r$ равен половине диагонали. $r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5$.

Высота пирамиды $H$ связана с радиусом описанной окружности основания $r$ и углом наклона боковых ребер $\beta$: $H = r \cdot \operatorname{tg} \beta = 5 \operatorname{tg} \beta$.

Радиус $R$ описанного шара найдем по той же формуле, что и в пункте а): $R = \frac{r^2 + H^2}{2H}$. Подставим значения $r=5$ и $H = 5 \operatorname{tg} \beta$: $R = \frac{5^2 + (5 \operatorname{tg} \beta)^2}{2 \cdot 5 \operatorname{tg} \beta} = \frac{25 + 25 \operatorname{tg}^2 \beta}{10 \operatorname{tg} \beta} = \frac{25(1 + \operatorname{tg}^2 \beta)}{10 \operatorname{tg} \beta}$. $R = \frac{5(1 + \operatorname{tg}^2 \beta)}{2 \operatorname{tg} \beta}$.

Упростим выражение для $R$ с помощью тригонометрических тождеств: $R = \frac{5 \cdot (1/\cos^2 \beta)}{2 \sin \beta / \cos \beta} = \frac{5}{2 \sin \beta \cos \beta} = \frac{5}{\sin(2\beta)}$.

Теперь найдем площадь поверхности $S$ и объем $V$ шара. Площадь поверхности шара: $S = 4\pi R^2$. $S = 4\pi \left(\frac{5}{\sin(2\beta)}\right)^2 = 4\pi \frac{25}{\sin^2(2\beta)} = \frac{100\pi}{\sin^2(2\beta)}$.

Объем шара: $V = \frac{4}{3}\pi R^3$. $V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{5}{\sin(2\beta)}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{125}{\sin^3(2\beta)} = \frac{500\pi}{3\sin^3(2\beta)}$.

Ответ: $S = \frac{100\pi}{\sin^2(2\beta)}$, $V = \frac{500\pi}{3\sin^3(2\beta)}$.