Номер 335, страница 106 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

335. Определите объем шара, вписанного в правильную четырехугольную пирамиду, учитывая, что центр шара:

а) отстоит от вершины пирамиды на $a$, а от бокового ребра — на $b$;

б) делит высоту пирамиды в отношении $5 : 3$, если считать от вершины, а сторона основания пирамиды равна $a$.

а)

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$. Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте пирамиды $SO$. Обозначим радиус шара как $r$.

По условию, расстояние от центра шара $I$ до вершины пирамиды $S$ равно $a$, то есть $SI = a$. Расстояние от центра шара до бокового ребра (например, $SC$) равно $b$.

Так как шар вписан в пирамиду, он касается основания. Расстояние от центра шара до основания равно радиусу, то есть $IO = r$. Таким образом, высота пирамиды $H = SO = SI + IO = a + r$.

Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и боковое ребро $SC$. Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOC$, где $O$ — центр основания. Точка $I$ лежит на катете $SO$. Расстояние от точки $I$ до гипотенузы $SC$ равно $b$. Обозначим угол $\angle OSC = \alpha$. В прямоугольном треугольнике, образованном отрезком $SI$ и перпендикуляром из $I$ на $SC$, имеем $\sin \alpha = \frac{b}{SI} = \frac{b}{a}$.

С другой стороны, в треугольнике $SOC$, $\sin \alpha = \frac{OC}{SC}$. Пусть сторона основания пирамиды равна $x$. Тогда $OC$ — половина диагонали квадрата, $OC = \frac{x\sqrt{2}}{2}$. Боковое ребро $SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{(a+r)^2 + (x\sqrt{2}/2)^2}$.

Приравнивая два выражения для $\sin \alpha$, получаем:$\frac{b}{a} = \frac{x\sqrt{2}/2}{\sqrt{(a+r)^2 + x^2/2}}$. Возводя в квадрат, находим связь между $x$ и $r$:$b^2((a+r)^2 + x^2/2) = a^2 \frac{x^2}{2} \implies b^2(a+r)^2 = \frac{x^2}{2}(a^2 - b^2) \implies x^2 = \frac{2b^2(a+r)^2}{a^2-b^2}$.

Теперь рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $SO$ и апофему боковой грани $SM$ (где $M$ — середина стороны основания $CD$). Это сечение — прямоугольный треугольник $SOM$. Шар касается боковой грани $SCD$, поэтому расстояние от центра шара $I$ до апофемы $SM$ равно радиусу $r$.

Обозначим угол $\angle OSM = \beta$. В прямоугольном треугольнике, образованном отрезком $SI$ и перпендикуляром из $I$ на $SM$, имеем $\sin \beta = \frac{r}{SI} = \frac{r}{a}$.

В треугольнике $SOM$, $\sin \beta = \frac{OM}{SM}$. $OM$ — половина стороны основания, $OM = x/2$. Апофема $SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{(a+r)^2 + (x/2)^2}$.

Приравнивая выражения для $\sin \beta$:$\frac{r}{a} = \frac{x/2}{\sqrt{(a+r)^2 + (x/2)^2}}$. Возводя в квадрат, получаем вторую связь между $x$ и $r$:$r^2((a+r)^2 + x^2/4) = a^2 \frac{x^2}{4} \implies r^2(a+r)^2 = \frac{x^2}{4}(a^2 - r^2) \implies x^2 = \frac{4r^2(a+r)^2}{a^2-r^2} = \frac{4r^2(a+r)}{a-r}$.

Теперь приравняем два полученных выражения для $x^2$:$\frac{2b^2(a+r)^2}{a^2-b^2} = \frac{4r^2(a+r)}{a-r}$. Сокращая на $2(a+r)$ (так как $a > r > 0$), получаем:$\frac{b^2(a+r)}{a^2-b^2} = \frac{2r^2}{a-r}$.$b^2(a+r)(a-r) = 2r^2(a^2-b^2) \implies b^2(a^2-r^2) = 2r^2(a^2-b^2)$.$a^2b^2 - b^2r^2 = 2a^2r^2 - 2b^2r^2$.$a^2b^2 = r^2(2a^2-b^2)$. Отсюда находим квадрат радиуса: $r^2 = \frac{a^2b^2}{2a^2-b^2}$. Следовательно, радиус $r = \frac{ab}{\sqrt{2a^2-b^2}}$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$.$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{ab}{\sqrt{2a^2-b^2}}\right)^3 = \frac{4\pi a^3 b^3}{3(2a^2-b^2)\sqrt{2a^2-b^2}}$.

Ответ: $V = \frac{4\pi a^3 b^3}{3(2a^2-b^2)\sqrt{2a^2-b^2}}$.

б)

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ с вершиной $S$ и стороной основания, равной $a$. Центр вписанного шара $I$ лежит на высоте пирамиды $SO$.

По условию, центр шара $I$ делит высоту $SO$ в отношении $5:3$, считая от вершины. То есть $SI:IO = 5:3$. Радиус вписанного шара $r$ равен расстоянию от его центра до плоскости основания, то есть $r = IO$. Тогда $SI = \frac{5}{3}IO = \frac{5}{3}r$. Высота пирамиды $H = SO = SI + IO = \frac{5}{3}r + r = \frac{8}{3}r$.

Рассмотрим осевое сечение пирамиды, проходящее через высоту $SO$ и апофему $SM$ боковой грани $SCD$ (где $M$ — середина стороны $CD$). Это сечение представляет собой прямоугольный треугольник $SOM$ с прямым углом при вершине $O$.

Центр вписанного шара $I$ равноудален от основания $ABCD$ и боковой грани $SCD$. Это означает, что точка $I$ лежит на биссектрисе двугранного угла при ребре основания $CD$. Угол $\angle SMO$ является линейным углом этого двугранного угла. Следовательно, отрезок $MI$ является биссектрисой угла $\angle SMO$ в треугольнике $SOM$.

По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону (в данном случае $SO$) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:$\frac{SI}{IO} = \frac{SM}{OM}$.

Так как $SI:IO = 5:3$ и $OM$ — половина стороны основания ($OM = a/2$), получаем:$\frac{5}{3} = \frac{SM}{a/2}$. Отсюда находим длину апофемы $SM$:$SM = \frac{5}{3} \cdot \frac{a}{2} = \frac{5a}{6}$.

В прямоугольном треугольнике $SOM$ по теореме Пифагора: $SO^2 + OM^2 = SM^2$.$H^2 + (a/2)^2 = (5a/6)^2$.$H^2 = \frac{25a^2}{36} - \frac{a^2}{4} = \frac{25a^2 - 9a^2}{36} = \frac{16a^2}{36} = \frac{4a^2}{9}$. Высота пирамиды $H = \sqrt{\frac{4a^2}{9}} = \frac{2a}{3}$.

Теперь мы можем найти радиус шара $r$ из соотношения $H = \frac{8}{3}r$:$r = \frac{3H}{8} = \frac{3}{8} \cdot \frac{2a}{3} = \frac{2a}{8} = \frac{a}{4}$.

Объем шара вычисляется по формуле $V = \frac{4}{3}\pi r^3$:$V = \frac{4}{3}\pi \left(\frac{a}{4}\right)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{a^3}{64} = \frac{\pi a^3}{3 \cdot 16} = \frac{\pi a^3}{48}$.

Ответ: $V = \frac{\pi a^3}{48}$.